Номер 43, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

43. Решите неравенство:

a) $\frac{x-1}{3} < 1;$

б) $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > 2;$

в) $\frac{2x}{3} < \frac{x}{4} - 1;$

г) $\frac{3x}{2} + \frac{x}{6} - \frac{2x}{3} > 8;$

д) $\frac{x-4}{5} > 2 - \frac{x}{3};$

е) $\frac{2x+1}{4} + 2 < \frac{3x+2}{3};$

ж) $\frac{x-1}{2} - \frac{x}{4} < \frac{x}{6} + \frac{x-2}{3};$

з) $\frac{7x-2}{4} > 1 - \frac{x-1}{3} + 2\frac{1}{12}x.$

а) Исходное неравенство: $\frac{x-1}{3} < 1$.
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется.
$3 \cdot \frac{x-1}{3} < 3 \cdot 1$
$x - 1 < 3$
Перенесем -1 в правую часть, изменив знак на противоположный:
$x < 3 + 1$
$x < 4$
Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

б) Исходное неравенство: $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > 2$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6.
$\frac{3x}{6} - \frac{2x}{6} > 2$
$\frac{3x-2x}{6} > 2$
$\frac{x}{6} > 2$
Умножим обе части неравенства на 6:
$x > 12$
Ответ: $x \in (12; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $\frac{2x}{3} < \frac{x}{4} - 1$.
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть неравенства:
$\frac{2x}{3} - \frac{x}{4} < -1$
Найдем общий знаменатель для 3 и 4, это 12. Приведем дроби к этому знаменателю:
$\frac{4 \cdot 2x}{12} - \frac{3 \cdot x}{12} < -1$
$\frac{8x-3x}{12} < -1$
$\frac{5x}{12} < -1$
Умножим обе части на 12:
$5x < -12$
Разделим обе части на 5:
$x < -\frac{12}{5}$
$x < -2.4$
Ответ: $x \in (-\infty; -2.4)$.

г) Исходное неравенство: $\frac{3x}{2} + \frac{x}{6} - \frac{2x}{3} > 8$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 2, 6 и 3, это 6. Умножим все члены неравенства на 6:
$6 \cdot \frac{3x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{6} - 6 \cdot \frac{2x}{3} > 6 \cdot 8$
$3 \cdot 3x + x - 2 \cdot 2x > 48$
$9x + x - 4x > 48$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$6x > 48$
Разделим обе части на 6:
$x > 8$
Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

д) Исходное неравенство: $\frac{x-4}{5} > 2 - \frac{x}{3}$.
Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую:
$\frac{x-4}{5} + \frac{x}{3} > 2$
Найдем общий знаменатель для 5 и 3, это 15. Умножим все неравенство на 15:
$15 \cdot \frac{x-4}{5} + 15 \cdot \frac{x}{3} > 15 \cdot 2$
$3(x-4) + 5x > 30$
Раскроем скобки:
$3x - 12 + 5x > 30$
Приведем подобные слагаемые:
$8x - 12 > 30$
Перенесем -12 в правую часть:
$8x > 30 + 12$
$8x > 42$
Разделим обе части на 8:
$x > \frac{42}{8}$
Сократим дробь: $x > \frac{21}{4}$ или $x > 5.25$.
Ответ: $x \in (5.25; +\infty)$.

е) Исходное неравенство: $\frac{2x+1}{4} + 2 < \frac{3x+2}{3}$.
Найдем общий знаменатель для 4 и 3, это 12. Умножим все неравенство на 12:
$12 \cdot \frac{2x+1}{4} + 12 \cdot 2 < 12 \cdot \frac{3x+2}{3}$
$3(2x+1) + 24 < 4(3x+2)$
Раскроем скобки:
$6x + 3 + 24 < 12x + 8$
$6x + 27 < 12x + 8$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в правой части, а свободные члены — в левой:
$27 - 8 < 12x - 6x$
$19 < 6x$
Разделим обе части на 6:
$\frac{19}{6} < x$
$x > \frac{19}{6}$
Ответ: $x \in (\frac{19}{6}; +\infty)$.

ж) Исходное неравенство: $\frac{x-1}{2} - \frac{x}{4} < \frac{x}{6} + \frac{x-2}{3}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 2, 4, 6, 3, это 12. Умножим все неравенство на 12:
$12 \cdot \frac{x-1}{2} - 12 \cdot \frac{x}{4} < 12 \cdot \frac{x}{6} + 12 \cdot \frac{x-2}{3}$
$6(x-1) - 3x < 2x + 4(x-2)$
Раскроем скобки:
$6x - 6 - 3x < 2x + 4x - 8$
Упростим обе части неравенства:
$3x - 6 < 6x - 8$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены в левую:
$8 - 6 < 6x - 3x$
$2 < 3x$
Разделим обе части на 3:
$\frac{2}{3} < x$
$x > \frac{2}{3}$
Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

з) Исходное неравенство: $\frac{7x-2}{4} > 1 - \frac{x-1}{3} + 2\frac{1}{12}x$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{25}{12}$.
Неравенство принимает вид: $\frac{7x-2}{4} > 1 - \frac{x-1}{3} + \frac{25x}{12}$.
Найдем общий знаменатель для 4, 3 и 12, это 12. Умножим все неравенство на 12:
$12 \cdot \frac{7x-2}{4} > 12 \cdot 1 - 12 \cdot \frac{x-1}{3} + 12 \cdot \frac{25x}{12}$
$3(7x-2) > 12 - 4(x-1) + 25x$
Раскроем скобки:
$21x - 6 > 12 - 4x + 4 + 25x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$21x - 6 > (12+4) + (-4x+25x)$
$21x - 6 > 16 + 21x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены в правую:
$21x - 21x > 16 + 6$
$0 \cdot x > 22$
$0 > 22$
Полученное неравенство $0 > 22$ является ложным при любом значении $x$. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).