Номер 45, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

45. Может ли линейное неравенство с одним неизвестным:

а) быть верным при любом значении неизвестного;

б) не иметь решений?

Рассмотрим линейное неравенство с одним неизвестным $x$ в общем виде: $ax > b$. Аналогичные рассуждения будут верны и для неравенств со знаками <, $\ge$ или $\le$. Решение такого неравенства напрямую зависит от значений коэффициентов $a$ и $b$.

а) быть верным при любом значении неизвестного;

Да, линейное неравенство может быть верным при любом значении неизвестного. Такая ситуация возникает, когда в процессе решения неравенства коэффициент при неизвестном обращается в ноль, а получившееся числовое неравенство является истинным.

Рассмотрим случай, когда в неравенстве $ax > b$ коэффициент $a = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x > b$, что эквивалентно $0 > b$.

Если это числовое неравенство верно (что будет, если $b$ — любое отрицательное число, например, $b = -3$), то и исходное неравенство будет верным для абсолютно любого значения $x$, так как истинность утверждения $0 > -3$ никак не зависит от $x$.

Пример:
Рассмотрим неравенство $7x - 4 > 7x - 9$.
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$7x - 7x > -9 + 4$
$0 \cdot x > -5$
$0 > -5$
Так как последнее неравенство $0 > -5$ является верным, то исходное неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: Да, может.

б) не иметь решений?

Да, линейное неравенство может не иметь решений. Это происходит в том случае, когда коэффициент при неизвестном становится равен нулю, а получившееся в результате числовое неравенство является ложным.

Снова обратимся к неравенству $ax > b$ при условии, что $a = 0$. Мы получаем $0 \cdot x > b$, то есть $0 > b$.

Если это числовое неравенство неверно (что будет, если $b$ — любое положительное число или ноль, например, $b = 5$), то исходное неравенство не будет иметь решений. Не существует такого значения $x$, которое могло бы сделать ложное утверждение $0 > 5$ истинным.

Пример:
Рассмотрим неравенство $3x + 10 < 3x + 1$.
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$3x - 3x < 1 - 10$
$0 \cdot x < -9$
$0 < -9$
Так как последнее неравенство $0 < -9$ является неверным, то исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: Да, может.