Страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

44. Может ли неравенство первой степени с одним неизвестным:

а) быть верным при любом значении неизвестного;

б) не иметь решений?

Неравенство первой степени с одним неизвестным (линейное неравенство) можно записать в общем виде как $ax+b > 0$ или $ax+b < 0$ (а также с нестрогими знаками $\geq$ и $\leq$). После переноса свободного члена $b$ в правую часть, неравенство принимает вид $ax > -b$ или $ax < -b$. Обозначим $-b$ как $c$, тогда общий вид неравенства — $ax > c$ (или $ax < c$).

Решение такого неравенства зависит от значения коэффициента $a$.

а) быть верным при любом значении неизвестного;

Да, неравенство первой степени может быть верным при любом значении неизвестного. Это происходит в случае, когда в процессе преобразований коэффициент при неизвестном становится равным нулю, а получившееся числовое неравенство оказывается верным.

Рассмотрим случай, когда $a=0$. Неравенство $ax > c$ превращается в $0 \cdot x > c$, то есть $0 > c$.

Если полученное числовое неравенство $0 > c$ является верным (это будет, если $c$ — любое отрицательное число), то исходное неравенство будет верным для абсолютно любого значения $x$, так как левая часть ($0 \cdot x$) всегда будет равна нулю.

Пример:

Рассмотрим неравенство $2(x+3) > 2x+1$.

Раскроем скобки:

$2x + 6 > 2x + 1$

Перенесем слагаемые с неизвестным в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - 2x > 1 - 6$

Приведем подобные слагаемые:

$0 \cdot x > -5$

В результате мы получили верное числовое неравенство $0 > -5$. Так как это утверждение истинно и не зависит от $x$, исходное неравенство выполняется при любом значении неизвестного.

Ответ: Да, может.

б) не иметь решений?

Да, неравенство первой степени может не иметь решений. Это происходит в случае, когда коэффициент при неизвестном становится равным нулю, а получившееся числовое неравенство оказывается неверным (ложным).

Снова рассмотрим случай, когда $a=0$ в неравенстве $ax > c$. Мы получаем $0 \cdot x > c$, то есть $0 > c$.

Если полученное числовое неравенство $0 > c$ является ложным (это будет, если $c$ — положительное число или ноль, т.е. $c \ge 0$), то исходное неравенство не будет иметь решений, так как не существует такого значения $x$, которое могло бы превратить ложное утверждение в истинное.

Пример:

Рассмотрим неравенство $4x - 5 > 4x + 2$.

Перенесем слагаемые с неизвестным в левую часть, а свободные члены — в правую:

$4x - 4x > 2 + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$0 \cdot x > 7$

В результате мы получили неверное числовое неравенство $0 > 7$. Так как это утверждение ложно при любом значении $x$, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: Да, может.

45. Может ли линейное неравенство с одним неизвестным:

а) быть верным при любом значении неизвестного;

б) не иметь решений?

Рассмотрим линейное неравенство с одним неизвестным $x$ в общем виде: $ax > b$. Аналогичные рассуждения будут верны и для неравенств со знаками <, $\ge$ или $\le$. Решение такого неравенства напрямую зависит от значений коэффициентов $a$ и $b$.

а) быть верным при любом значении неизвестного;

Да, линейное неравенство может быть верным при любом значении неизвестного. Такая ситуация возникает, когда в процессе решения неравенства коэффициент при неизвестном обращается в ноль, а получившееся числовое неравенство является истинным.

Рассмотрим случай, когда в неравенстве $ax > b$ коэффициент $a = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x > b$, что эквивалентно $0 > b$.

Если это числовое неравенство верно (что будет, если $b$ — любое отрицательное число, например, $b = -3$), то и исходное неравенство будет верным для абсолютно любого значения $x$, так как истинность утверждения $0 > -3$ никак не зависит от $x$.

Пример:
Рассмотрим неравенство $7x - 4 > 7x - 9$.
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$7x - 7x > -9 + 4$
$0 \cdot x > -5$
$0 > -5$
Так как последнее неравенство $0 > -5$ является верным, то исходное неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: Да, может.

б) не иметь решений?

Да, линейное неравенство может не иметь решений. Это происходит в том случае, когда коэффициент при неизвестном становится равен нулю, а получившееся в результате числовое неравенство является ложным.

Снова обратимся к неравенству $ax > b$ при условии, что $a = 0$. Мы получаем $0 \cdot x > b$, то есть $0 > b$.

Если это числовое неравенство неверно (что будет, если $b$ — любое положительное число или ноль, например, $b = 5$), то исходное неравенство не будет иметь решений. Не существует такого значения $x$, которое могло бы сделать ложное утверждение $0 > 5$ истинным.

Пример:
Рассмотрим неравенство $3x + 10 < 3x + 1$.
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$3x - 3x < 1 - 10$
$0 \cdot x < -9$
$0 < -9$
Так как последнее неравенство $0 < -9$ является неверным, то исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: Да, может.

46. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{1}{\sqrt{x}};$

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x-1}};$

в) $y = \frac{5x}{\sqrt{1-x}}.$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (определена). Для нахождения области определения необходимо выявить все ограничения, накладываемые на $x$.

а) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

В данной функции есть два ограничения:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $\sqrt{x} \ne 0$.
Из второго условия следует, что $x \ne 0$.
Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \ne 0$), получаем строгое неравенство: $x > 0$.
Таким образом, область определения функции — это все числа, строго большие нуля.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

Для этой функции также существуют два ограничения:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x} - 1 \ne 0$.
Решим второе условие:
$\sqrt{x} \ne 1$
Возведя обе части в квадрат, получаем:
$x \ne 1$.
Совмещая оба условия, получаем, что $x$ может быть любым неотрицательным числом, кроме 1.

Ответ: $x \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$.

в) $y = \frac{5x}{\sqrt{1 - x}}$

В этой функции корень находится в знаменателе. Это накладывает одно, но строгое ограничение: выражение под знаком корня должно быть строго больше нуля. Это гарантирует, что корень можно извлечь (подкоренное выражение неотрицательно) и знаменатель не равен нулю.
Составим и решим соответствующее неравенство:
$1 - x > 0$
Перенесем $x$ в правую часть:
$1 > x$
Или, что то же самое:
$x < 1$.
Область определения функции — это все числа, меньшие 1.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.