Страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

22. а) $0,2x > \frac{2}{5}$;

б) $1,5x < \frac{9}{10}$;

в) $-1,1x < 4\frac{2}{5}$;

г) $\frac{x}{2} > 3$;

д) $\frac{x}{4} > \frac{7}{12}$;

е) $-\frac{2x}{3} < -8$.

а) Чтобы решить неравенство $0,2x > \frac{2}{5}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Получаем неравенство:

$\frac{1}{5}x > \frac{2}{5}$

Умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства не меняется.

$5 \cdot \frac{1}{5}x > 5 \cdot \frac{2}{5}$

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

б) Чтобы решить неравенство $1,5x < \frac{9}{10}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

Получаем неравенство:

$\frac{3}{2}x < \frac{9}{10}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $\frac{3}{2}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{2}{3}$). Знак неравенства не меняется, так как $\frac{3}{2}$ - положительное число.

$x < \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3}$

$x < \frac{18}{30}$

Сократим дробь:

$x < \frac{3}{5}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{5})$

в) Чтобы решить неравенство $-1,1x < 4\frac{2}{5}$, представим оба числа в виде неправильных дробей: $-1,1 = -\frac{11}{10}$, а $4\frac{2}{5} = \frac{22}{5}$.

Получаем неравенство:

$-\frac{11}{10}x < \frac{22}{5}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $-\frac{11}{10}$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x > \frac{22}{5} \div (-\frac{11}{10})$

$x > \frac{22}{5} \cdot (-\frac{10}{11})$

$x > -\frac{22 \cdot 10}{5 \cdot 11}$

Сократим выражение:

$x > -\frac{2 \cdot 2}{1}$

$x > -4$

Ответ: $x \in (-4; +\infty)$

г) В неравенстве $\frac{x}{2} > 3$, чтобы найти $x$, умножим обе части на 2. Знак неравенства не меняется.

$2 \cdot \frac{x}{2} > 3 \cdot 2$

$x > 6$

Ответ: $x \in (6; +\infty)$

д) В неравенстве $\frac{x}{4} > \frac{7}{12}$, чтобы найти $x$, умножим обе части на 4. Знак неравенства не меняется.

$4 \cdot \frac{x}{4} > \frac{7}{12} \cdot 4$

$x > \frac{28}{12}$

Сократим дробь:

$x > \frac{7}{3}$

Ответ: $x \in (\frac{7}{3}; +\infty)$

е) В неравенстве $-\frac{2x}{3} < -8$, чтобы найти $x$, сначала умножим обе части на 3.

$-2x < -24$

Теперь разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x > \frac{-24}{-2}$

$x > 12$

Ответ: $x \in (12; +\infty)$

23. a) $2x - 4 > 0;$

б) $3x - 1 < 0;$

в) $-2x - 4 > 0;$

г) $7x + 4 < 0;$

д) $4x + 3 > 0;$

е) $-4x + 3 < 0.$

а) $2x - 4 > 0$

Для решения данного линейного неравенства необходимо изолировать переменную $x$. Сначала перенесем свободный член -4 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$2x > 4$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 2. Поскольку 2 является положительным числом, знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{4}{2}$

$x > 2$

Решением неравенства являются все числа, строго большие 2. Это можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

б) $3x - 1 < 0$

Перенесем свободный член -1 в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$3x < 1$

Разделим обе части на положительный коэффициент 3. Знак неравенства при этом не меняется:

$x < \frac{1}{3}$

Решением являются все числа, строго меньшие $\frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3})$

в) $-2x - 4 > 0$

Перенесем свободный член -4 в правую часть с противоположным знаком:

$-2x > 4$

Разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на -2. Важно помнить, что при делении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный (в данном случае ">" на "<"):

$x < \frac{4}{-2}$

$x < -2$

Решением являются все числа, строго меньшие -2.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$

г) $7x + 4 < 0$

Перенесем свободный член 4 в правую часть с противоположным знаком:

$7x < -4$

Разделим обе части на положительный коэффициент 7. Знак неравенства не меняется:

$x < -\frac{4}{7}$

Решением являются все числа, строго меньшие $-\frac{4}{7}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{7})$

д) $4x + 3 > 0$

Перенесем свободный член 3 в правую часть с противоположным знаком:

$4x > -3$

Разделим обе части на положительный коэффициент 4. Знак неравенства не меняется:

$x > -\frac{3}{4}$

Решением являются все числа, строго большие $-\frac{3}{4}$.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{4}; +\infty)$

е) $-4x + 3 < 0$

Перенесем свободный член 3 в правую часть с противоположным знаком:

$-4x < -3$

Разделим обе части на отрицательный коэффициент -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный ("<" на ">"):

$x > \frac{-3}{-4}$

$x > \frac{3}{4}$

Решением являются все числа, строго большие $\frac{3}{4}$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{4}; +\infty)$

24. a) $1 + \frac{2}{9}x < 0;$

б) $\frac{4}{5} - 3x < 0;$

в) $1\frac{1}{7} - \frac{4}{7}x > 0;$

г) $4\frac{1}{3} - 8\frac{2}{3}x > 0;$

д) $2\frac{1}{3}x - 3\frac{1}{2} < 0;$

е) $\frac{5}{7}x - \frac{5}{7} > 0.$

а)

Решим неравенство $1 + \frac{2}{9}x < 0$.

Сначала перенесем 1 в правую часть неравенства, изменив ее знак:

$\frac{2}{9}x < -1$

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $\frac{9}{2}$. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется:

$x < -1 \cdot \frac{9}{2}$

$x < -\frac{9}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в десятичную:

$x < -4.5$

Ответ: $x \in (-\infty; -4.5)$.

б)

Решим неравенство $\frac{4}{5} - 3x < 0$.

Перенесем $\frac{4}{5}$ в правую часть неравенства:

$-3x < -\frac{4}{5}$

Разделим обе части на -3. Важно помнить, что при делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-\frac{4}{5}}{-3}$

$x > \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}$

$x > \frac{4}{15}$

Ответ: $x \in (\frac{4}{15}; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $1\frac{1}{7} - \frac{4}{7}x > 0$.

Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{7}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{8}{7} - \frac{4}{7}x > 0$

Перенесем $\frac{8}{7}$ в правую часть:

$-\frac{4}{7}x > -\frac{8}{7}$

Умножим обе части на $-\frac{7}{4}$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < (-\frac{8}{7}) \cdot (-\frac{7}{4})$

$x < \frac{8 \cdot 7}{7 \cdot 4}$

$x < \frac{8}{4}$

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

г)

Решим неравенство $4\frac{1}{3} - 8\frac{2}{3}x > 0$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$

$8\frac{2}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{26}{3}$

Подставим дроби в неравенство:

$\frac{13}{3} - \frac{26}{3}x > 0$

Перенесем $\frac{13}{3}$ в правую часть:

$-\frac{26}{3}x > -\frac{13}{3}$

Умножим обе части на $-\frac{3}{26}$. Знак неравенства меняется:

$x < (-\frac{13}{3}) \cdot (-\frac{3}{26})$

$x < \frac{13 \cdot 3}{3 \cdot 26}$

$x < \frac{13}{26}$

$x < \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2})$.

д)

Решим неравенство $2\frac{1}{3}x - 3\frac{1}{2} < 0$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Получаем неравенство:

$\frac{7}{3}x - \frac{7}{2} < 0$

Перенесем $-\frac{7}{2}$ в правую часть:

$\frac{7}{3}x < \frac{7}{2}$

Умножим обе части на $\frac{3}{7}$ (положительное число, знак не меняется):

$x < \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{7}$

$x < \frac{3}{2}$

$x < 1.5$

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5)$.

е)

Решим неравенство $\frac{5}{7}x - \frac{5}{7} > 0$.

Перенесем $-\frac{5}{7}$ в правую часть:

$\frac{5}{7}x > \frac{5}{7}$

Разделим обе части на $\frac{5}{7}$. Так как это положительное число, знак неравенства не меняется:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

25. a) $0,3x - 20 < 0;$

б) $4x + 0,1 > 0;$

в) $1,35 - 27x > 0;$

г) $0,15 - 150x < 0;$

д) $-0,3x - 13 > 0;$

е) $-0,17x - 51 < 0.$

а) Решим линейное неравенство $0,3x - 20 < 0$.
Для этого сначала перенесем свободный член ($-20$) из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$0,3x < 20$
Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной $x$, то есть на $0,3$. Так как $0,3$ является положительным числом, знак неравенства $(<)$ не меняется:
$x < \frac{20}{0,3}$
Выполним деление, предварительно избавившись от дроби в знаменателе:
$x < \frac{200}{3}$
Представим результат в виде смешанного числа:
$x < 66\frac{2}{3}$
Таким образом, решением неравенства является любой $x$ из промежутка $(-\infty; 66\frac{2}{3})$.
Ответ: $x \in (-\infty; 66\frac{2}{3})$.

б) Решим неравенство $4x + 0,1 > 0$.
Перенесем $0,1$ в правую часть с противоположным знаком:
$4x > -0,1$
Разделим обе части неравенства на $4$. Так как $4$ — положительное число, знак неравенства $(>)$ сохраняется:
$x > \frac{-0,1}{4}$
$x > -0,025$
Решением неравенства является промежуток $(-0,025; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-0,025; +\infty)$.

в) Решим неравенство $1,35 - 27x > 0$.
Чтобы избежать деления на отрицательное число, перенесем член с переменной ($-27x$) в правую часть, изменив его знак:
$1,35 > 27x$
Теперь разделим обе части на положительный коэффициент $27$. Знак неравенства $(>)$ не меняется:
$\frac{1,35}{27} > x$
Выполним деление:
$0,05 > x$
Это неравенство равносильно $x < 0,05$.
Решением является промежуток $(-\infty; 0,05)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0,05)$.

г) Решим неравенство $0,15 - 150x < 0$.
Перенесем член с переменной ($-150x$) в правую часть, изменив его знак:
$0,15 < 150x$
Разделим обе части на положительное число $150$. Знак неравенства $(<)$ сохраняется:
$\frac{0,15}{150} < x$
Выполним деление:
$0,001 < x$
Это неравенство равносильно $x > 0,001$.
Решением является промежуток $(0,001; +\infty)$.
Ответ: $x \in (0,001; +\infty)$.

д) Решим неравенство $-0,3x - 13 > 0$.
Перенесем свободный член ($-13$) в правую часть с противоположным знаком:
$-0,3x > 13$
Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $-0,3$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства $(>)$ необходимо изменить на противоположный $(<)$:
$x < \frac{13}{-0,3}$
$x < -\frac{130}{3}$
$x < -43\frac{1}{3}$
Решением является промежуток $(-\infty; -43\frac{1}{3})$.
Ответ: $x \in (-\infty; -43\frac{1}{3})$.

е) Решим неравенство $-0,17x - 51 < 0$.
Перенесем свободный член ($-51$) в правую часть с противоположным знаком:
$-0,17x < 51$
Разделим обе части на $-0,17$. При делении на отрицательное число знак неравенства $(<)$ меняется на противоположный $(>)$:
$x > \frac{51}{-0,17}$
Выполним деление:
$x > -\frac{5100}{17}$
$x > -300$
Решением является промежуток $(-300; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-300; +\infty)$.