Страница 7 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1. Изобразите на координатной оси интервал:

а) $(-2; 7)$

б) $(-17; 34)$

в) $(1234; 1398)$

г) $(-\infty; 0)$

д) $(0; +\infty)$

е) $(-\infty; -3)$

ж) $(2; +\infty)$

з) $(-\infty; +\infty)$

и) $(\frac{1}{3}; 0,5)$

а) Интервал $(-2; 7)$ представляет собой множество всех чисел, которые строго больше -2 и строго меньше 7. На координатной оси это изображается следующим образом:

1. Чертим числовую ось, отмечаем на ней направление (стрелкой вправо).

2. Находим и отмечаем на оси точки -2 и 7.

3. Поскольку скобки в записи интервала круглые, это означает, что концы интервала, числа -2 и 7, не включаются в него. Такие точки на числовой оси изображаются "выколотыми" или пустыми кружочками.

4. Все числа, находящиеся между -2 и 7, принадлежат данному интервалу. Этот участок оси заштриховывается.

Данный интервал можно также записать в виде строгого двойного неравенства: $-2 < x < 7$.

Ответ: На координатной оси отмечаются выколотые точки -2 и 7, а промежуток между ними заштриховывается.

б) Интервал $(-17; 34)$ — это множество всех чисел, строго больших -17 и строго меньших 34. Это открытый числовой промежуток.

1. Изображаем координатную ось.

2. Отмечаем на оси точки -17 и 34. Так как числа достаточно удалены друг от друга, масштаб можно выбрать условно, главное — расположить -17 левее 34.

3. Круглые скобки означают, что концы интервала не включаются в множество. Поэтому точки -17 и 34 отмечаются выколотыми (пустыми) кружочками.

4. Заштриховываем область на оси между точками -17 и 34.

Неравенство, соответствующее этому интервалу: $-17 < x < 34$.

Ответ: На координатной оси отмечаются выколотые точки -17 и 34, и заштриховывается участок оси между ними.

в) Интервал $(1234; 1398)$ включает все действительные числа, которые строго больше 1234 и строго меньше 1398.

1. Чертим числовую ось.

2. Отмечаем на ней точки 1234 и 1398. Важно показать, что 1234 находится левее, чем 1398.

3. Так как интервал открытый (круглые скобки), точки 1234 и 1398 изображаются выколотыми.

4. Штрихуем промежуток между этими двумя точками.

В виде неравенства: $1234 < x < 1398$.

Ответ: На координатной оси отмечаются выколотые точки 1234 и 1398, а промежуток между ними заштриховывается.

г) Интервал $(-\infty; 0)$ — это числовой луч, который включает все действительные числа, строго меньшие 0.

1. Рисуем координатную ось.

2. Находим и отмечаем на оси точку 0.

3. Поскольку скобка у нуля круглая, точка 0 не входит в интервал и изображается выколотым кружочком.

4. Знак $-\infty$ (минус бесконечность) указывает, что интервал уходит влево безгранично. Поэтому заштриховываем всю часть оси, которая находится левее точки 0.

Неравенство: $x < 0$.

Ответ: На координатной оси отмечается выколотая точка 0, и заштриховывается вся числовая ось слева от этой точки.

д) Интервал $(0; +\infty)$ — это открытый числовой луч, содержащий все действительные числа, строго большие 0.

1. Чертим координатную ось.

2. Отмечаем на ней точку 0.

3. Точка 0 не включается в интервал (круглая скобка), поэтому отмечаем ее выколотым кружком.

4. Знак $+\infty$ (плюс бесконечность) означает, что интервал уходит вправо безгранично. Заштриховываем всю часть оси, которая находится правее точки 0.

Неравенство: $x > 0$.

Ответ: На координатной оси отмечается выколотая точка 0, и заштриховывается вся числовая ось справа от этой точки.

е) Интервал $(-\infty; -3)$ представляет собой множество всех чисел, которые строго меньше -3.

1. Изображаем числовую ось.

2. Отмечаем на ней точку -3.

3. Точка -3 является границей, но не принадлежит интервалу (круглая скобка), поэтому изображается выколотой.

4. Штриховка наносится на всю часть оси левее точки -3, так как интервал уходит в минус бесконечность.

Неравенство: $x < -3$.

Ответ: На координатной оси отмечается выколотая точка -3, и заштриховывается вся числовая ось слева от этой точки.

ж) Интервал $(2; +\infty)$ — это множество всех действительных чисел, которые строго больше 2.

1. Рисуем числовую ось.

2. Находим и отмечаем точку 2.

3. Точка 2 не входит в интервал, так как скобка круглая, поэтому отмечаем ее выколотым кружочком.

4. Заштриховываем всю часть числовой оси, расположенную правее точки 2, до плюс бесконечности.

Неравенство: $x > 2$.

Ответ: На координатной оси отмечается выколотая точка 2, и заштриховывается вся числовая ось справа от этой точки.

з) Интервал $(-\infty; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел.

1. Чертим числовую ось.

2. Поскольку интервал простирается от минус бесконечности до плюс бесконечности, он не имеет конечных границ.

3. Это означает, что все точки на координатной оси принадлежат данному интервалу. Заштриховываем всю числовую ось целиком.

Ответ: На координатной оси заштриховывается вся числовая прямая.

и) Интервал $(\frac{1}{3}; 0,5]$ — это полуинтервал, который включает все числа, строго большие $\frac{1}{3}$ и меньшие или равные $0,5$.

1. Сначала сравним концы интервала. Переведем $0,5$ в обыкновенную дробь: $0,5 = \frac{1}{2}$. Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$, приведем их к общему знаменателю 6: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ и $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$. Так как $\frac{2}{6} < \frac{3}{6}$, то $\frac{1}{3} < 0,5$.

2. Чертим числовую ось.

3. Отмечаем на ней точки $\frac{1}{3}$ и $0,5$, располагая $\frac{1}{3}$ левее, чем $0,5$.

4. Левая скобка круглая `(`, поэтому точка $\frac{1}{3}$ не включается в интервал и изображается выколотым (пустым) кружочком.

5. Правая скобка квадратная `]`, поэтому точка $0,5$ включается в интервал и изображается закрашенным (сплошным) кружочком.

6. Заштриховываем промежуток между точками $\frac{1}{3}$ и $0,5$.

Неравенство, соответствующее этому интервалу: $\frac{1}{3} < x \le 0,5$.

Ответ: На координатной оси отмечается выколотая точка $\frac{1}{3}$ и закрашенная точка $0,5$, а промежуток между ними заштриховывается.

2. Изображённое на рисунке 1 множество чисел задайте в виде неравенства.

а) $x > 1$

б) $x > 0$

в) $-1 < x < 3$

Рис. 1

а)

На числовой оси отмечена точка 1. Точка изображена в виде пустого (выколотого) кружка, что означает, что значение 1 не включается в множество. Штриховка расположена справа от точки 1, что указывает на все числа, которые больше 1. Таким образом, данное множество чисел можно описать строгим неравенством.

Ответ: $x > 1$

б)

На числовой оси отмечена точка 0. Точка выколота, следовательно, значение 0 не принадлежит множеству. Штриховкой показана область справа от 0, то есть все числа, которые больше 0. Это соответствует строгому неравенству.

Ответ: $x > 0$

в)

На числовой оси отмечены точки -1 и 3. Обе точки выколоты, значит, числа -1 и 3 не входят в рассматриваемое множество. Заштрихована область между этими точками. Это означает, что множество включает все числа, которые больше -1 и одновременно меньше 3. Такое условие записывается в виде двойного неравенства.

Ответ: $-1 < x < 3$

3. Изобразите на координатной оси множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству (двойному неравенству):

а) $x > 0$;

б) $x < 3$;

в) $x > 3579$;

г) $x < -2$;

д) $x > -1748$;

е) $x < 0,06$;

ж) $x > \sqrt{5}$;

з) $x < \pi$;

и) $0 < x < \sqrt{2}$;

к) $-2 < x < -0,5$;

л) $|x| < 1$;

м) $|x| > 1$.

а) $x > 0$

Данное неравенство означает, что $x$ принимает все значения, которые строго больше нуля. На координатной оси это множество чисел расположено справа от точки 0. Так как неравенство строгое (знак $>$), точка 0 не включается в множество решений и на оси изображается выколотой (пустой) точкой. Штриховкой выделяется вся область оси справа от 0.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

б) $x < 3$

Этому неравенству удовлетворяют все числа, которые меньше трех. На координатной оси это множество изображается как числовой луч, идущий от $-\infty$ до точки 3. Так как неравенство строгое (знак <), точка 3 не включается в решение и отмечается выколотой точкой. Заштриховывается область слева от 3.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

в) $x > 3579$

Решением неравенства являются все числа, строго большие 3579. На координатной оси это числовой луч, начинающийся в точке 3579 и направленный вправо. Точка 3579 является выколотой, так как неравенство строгое. Штриховкой покрывается вся часть оси справа от 3579.

Ответ: $x \in (3579; +\infty)$.

г) $x < -2$

Решением являются все числа, которые меньше -2. На координатной оси это луч, идущий от $-\infty$ до точки -2. Точка -2 не входит в множество решений (выколотая точка), так как знак неравенства строгий. Заштриховывается область слева от -2.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

д) $x > -1748$

Этому неравенству удовлетворяют все числа, строго большие -1748. На координатной оси отмечаем выколотую точку -1748 и заштриховываем всю числовую прямую справа от этой точки.

Ответ: $x \in (-1748; +\infty)$.

е) $x < 0,06$

Решением являются все числа, которые меньше 0,06. На координатной оси это луч, идущий влево от точки 0,06. Сама точка 0,06 отмечается выколотой, так как неравенство строгое. Заштриховывается область слева от 0,06.

Ответ: $x \in (-\infty; 0,06)$.

ж) $x > \sqrt{5}$

Неравенство означает, что $x$ больше квадратного корня из 5 (приблизительно 2,24). На координатной оси отмечаем выколотую точку $\sqrt{5}$ и заштриховываем всю область справа от нее.

Ответ: $x \in (\sqrt{5}; +\infty)$.

з) $x < \pi$

Решением являются все числа, меньшие числа $\pi$ (пи, приблизительно 3,14). На координатной оси отмечаем выколотую точку $\pi$ и заштриховываем всю область слева от нее.

Ответ: $x \in (-\infty; \pi)$.

и) $0 < x < \sqrt{2}$

Это двойное неравенство, которое означает, что $x$ находится между 0 и $\sqrt{2}$. На координатной оси это интервал. Отмечаем выколотыми точками 0 и $\sqrt{2}$ (поскольку оба знака неравенства строгие) и заштриховываем область между этими точками.

Ответ: $x \in (0; \sqrt{2})$.

к) $-2 < x < -0,5$

Это двойное неравенство, решением которого являются все числа, находящиеся строго между -2 и -0,5. На координатной оси отмечаем выколотыми точками -2 и -0,5 и заштриховываем промежуток между ними.

Ответ: $x \in (-2; -0,5)$.

л) $|x| < 1$

Неравенство с модулем $|x| < a$ равносильно двойному неравенству $-a < x < a$. В данном случае получаем $-1 < x < 1$. На координатной оси это интервал между -1 и 1. Точки -1 и 1 выколоты, а область между ними заштрихована.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

м) $|x| > 1$

Неравенство с модулем $|x| > a$ равносильно совокупности двух неравенств: $x > a$ или $x < -a$. В данном случае получаем $x > 1$ или $x < -1$. На координатной оси это два луча. Первый — от 1 вправо до $+\infty$. Второй — от -1 влево до $-\infty$. Точки 1 и -1 выколоты. Решением является объединение этих двух множеств.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

4. Какой знак ($=$, $\neq$, $<$, $>$ ) следует поставить между числами $a$ и $b$, если их разность $a - b$:

а) положительное число;

б) отрицательное число;

в) натуральное число;

г) не равна нулю;

д) равна нулю?

а) положительное число;

Если разность $a - b$ является положительным числом, это по определению означает, что $a - b > 0$. Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, можно прибавить $b$ к обеим частям неравенства. Получим: $a - b + b > 0 + b$, что после упрощения дает $a > b$. Таким образом, число $a$ больше числа $b$.

Ответ: >.

б) отрицательное число;

Если разность $a - b$ является отрицательным числом, это означает, что $a - b < 0$. Прибавив $b$ к обеим частям этого неравенства, получим: $a - b + b < 0 + b$, что приводит к неравенству $a < b$. Таким образом, число $a$ меньше числа $b$.

Ответ: <.

в) натуральное число;

Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \dots$). Так как любое натуральное число является положительным, данное условие является частным случаем пункта а). Если разность $a - b$ — натуральное число, то она положительна, то есть $a - b > 0$. Из этого, как и в пункте а), следует, что $a > b$.

Ответ: >.

г) не равна нулю;

Если разность $a - b$ не равна нулю, это записывается как $a - b \neq 0$. Прибавив $b$ к обеим частям, получим: $a - b + b \neq 0 + b$, что приводит к выражению $a \neq b$. Это означает, что числа $a$ и $b$ не равны друг другу.

Ответ: ≠.

д) равна нулю?

Если разность $a - b$ равна нулю, то это можно записать в виде уравнения $a - b = 0$. Прибавив $b$ к обеим частям равенства, получим: $a - b + b = 0 + b$, что после упрощения дает $a = b$. Это означает, что числа $a$ и $b$ равны.

Ответ: =.

5. Какое число больше:

а) $a$ или $a + 3$;

б) $b + 1$ или $b + 2$;

в) $a - 5$ или $a + 2$;

г) $b - 7$ или $b - 6$?

Здесь $a$ и $b$ — любые данные числа.

а) Чтобы сравнить числа $a$ и $a + 3$, можно рассуждать логически: выражение $a + 3$ означает, что к числу $a$ прибавили положительное число 3. Результат всегда будет больше исходного числа.
Также можно найти их разность, вычтя из одного числа другое:
$(a + 3) - a = a - a + 3 = 3$
Поскольку разность $3$ положительна ($3 > 0$), это означает, что $a + 3$ больше, чем $a$.
Ответ: $a + 3$.

б) Сравним числа $b + 1$ и $b + 2$. К одному и тому же числу $b$ в первом случае прибавляют 1, а во втором — 2. Так как $2 > 1$, то и результат во втором случае будет больше.
Проверим с помощью вычитания:
$(b + 2) - (b + 1) = b + 2 - b - 1 = 1$
Разность $1$ положительна ($1 > 0$), значит, $b + 2$ больше, чем $b + 1$.
Ответ: $b + 2$.

в) Сравним числа $a - 5$ и $a + 2$. В первом случае из числа $a$ вычитают 5, а во втором — прибавляют 2. Очевидно, что прибавление числа дает больший результат, чем вычитание.
Найдем разность этих чисел:
$(a + 2) - (a - 5) = a + 2 - a + 5 = 7$
Разность $7$ положительна ($7 > 0$), следовательно, $a + 2$ больше, чем $a - 5$.
Ответ: $a + 2$.

г) Сравним числа $b - 7$ и $b - 6$. В обоих случаях из числа $b$ вычитается некоторое число. Чем меньшее число мы вычитаем, тем больший результат получаем. Поскольку $6 < 7$, то результат выражения $b - 6$ будет больше.
Найдем их разность:
$(b - 6) - (b - 7) = b - 6 - b + 7 = 1$
Разность $1$ положительна ($1 > 0$), поэтому $b - 6$ больше, чем $b - 7$.
Ответ: $b - 6$.

6. Сравните с нулём разность $x - a$, если:

а) $x > a$;

б) $x < a$.

а) Чтобы сравнить разность $x - a$ с нулём, воспользуемся свойством неравенств. Нам дано, что $x > a$. Вычтем из обеих частей этого неравенства число $a$. Знак неравенства при этом не изменится.
$x - a > a - a$
$x - a > 0$
Это означает, что разность $x - a$ является положительным числом.
Ответ: $x - a > 0$.

б) В этом случае нам дано, что $x < a$. По аналогии с предыдущим пунктом, вычтем из обеих частей неравенства число $a$. Знак неравенства также не изменится.
$x - a < a - a$
$x - a < 0$
Это означает, что разность $x - a$ является отрицательным числом.
Ответ: $x - a < 0$.

7. Запишите какое-нибудь неравенство первой степени с одним неизвестным. Назовите коэффициент при неизвестном и свободный член этого неравенства.

Неравенство первой степени с одним неизвестным (также называемое линейным неравенством) — это неравенство, которое можно привести к виду $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$ или $ax + b \le 0$, где $x$ — это неизвестная переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$.

В качестве примера запишем следующее неравенство первой степени с одним неизвестным:

$5x + 15 > 0$

Теперь назовем его составные части, как требуется в условии задачи.

Коэффициент при неизвестном — это числовой множитель перед переменной. В данном неравенстве переменная — это $x$, а число, на которое она умножается, равно $5$.

Свободный член — это член неравенства, который не содержит переменную. В нашем примере это число $15$.

Ответ: Пример неравенства: $5x + 15 > 0$. Коэффициент при неизвестном: $5$. Свободный член: $15$.