Страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

26. Постройте график линейной функции:

а) $y = x - 4;$

б) $y = 2x + 2;$

в) $y = -3x - 3;$

г) $y = 5x - 6;$

д) $y = -0.5x + 1.5;$

е) $y = 1\frac{1}{2}x - 0.3.$

С помощью графика определите интервал, на котором функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

Для построения графика линейной функции вида $y = kx + b$ достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этому графику. Самый простой способ — найти точки пересечения с осями координат:

• Для нахождения точки пересечения с осью OY, подставляем $x=0$ в уравнение и вычисляем $y$. Получаем точку с координатами $(0; b)$.

• Для нахождения точки пересечения с осью OX, подставляем $y=0$ в уравнение и решаем его относительно $x$. Получаем точку с координатами $(-\frac{b}{k}; 0)$.

Соединив эти две точки прямой линией, мы получаем искомый график. Далее, с помощью графика определяем интервалы знакопостоянства:

• Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси OX.

• Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси OX.

Точка пересечения с осью OX является границей между этими интервалами.

а) $y = x - 4$

Это линейная функция. Для построения графика найдем две точки.
При $x = 0$, $y = 0 - 4 = -4$. Точка (0; -4).
При $y = 0$, $x - 4 = 0$, откуда $x = 4$. Точка (4; 0).
Проводим прямую через эти две точки. График пересекает ось OX в точке $x = 4$. Так как угловой коэффициент $k=1>0$, функция возрастающая.
Следовательно, график находится выше оси OX при $x > 4$ и ниже оси OX при $x < 4$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (4; +\infty)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; 4)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (4; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; 4)$.

б) $y = 2x + 2$

Это линейная функция. Найдем две точки для построения.
При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка (0; 2).
При $y = 0$, $2x + 2 = 0$, откуда $2x = -2$, $x = -1$. Точка (-1; 0).
Проводим прямую через точки (0; 2) и (-1; 0). График пересекает ось OX в точке $x = -1$. Угловой коэффициент $k=2>0$, функция возрастающая.
График находится выше оси OX при $x > -1$ и ниже оси OX при $x < -1$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (-1; +\infty)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; -1)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (-1; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; -1)$.

в) $y = -3x - 3$

Это линейная функция. Найдем две точки для построения.
При $x = 0$, $y = -3 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка (0; -3).
При $y = 0$, $-3x - 3 = 0$, откуда $-3x = 3$, $x = -1$. Точка (-1; 0).
Проводим прямую через точки (0; -3) и (-1; 0). График пересекает ось OX в точке $x = -1$. Угловой коэффициент $k=-3<0$, функция убывающая.
График находится выше оси OX при $x < -1$ и ниже оси OX при $x > -1$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -1)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-1; +\infty)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (-\infty; -1)$, отрицательна при $x \in (-1; +\infty)$.

г) $y = 5x - 6$

Это линейная функция. Найдем две точки.
При $x = 0$, $y = 5 \cdot 0 - 6 = -6$. Точка (0; -6).
При $y = 0$, $5x - 6 = 0$, откуда $5x = 6$, $x = \frac{6}{5} = 1.2$. Точка (1.2; 0).
Проводим прямую через эти две точки. График пересекает ось OX в точке $x = 1.2$. Угловой коэффициент $k=5>0$, функция возрастающая.
График находится выше оси OX при $x > 1.2$ и ниже оси OX при $x < 1.2$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (1.2; +\infty)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; 1.2)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (1.2; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; 1.2)$.

д) $y = -0.5x + 1.5$

Это линейная функция. Найдем две точки.
При $x = 0$, $y = -0.5 \cdot 0 + 1.5 = 1.5$. Точка (0; 1.5).
При $y = 0$, $-0.5x + 1.5 = 0$, откуда $0.5x = 1.5$, $x = 3$. Точка (3; 0).
Проводим прямую через эти две точки. График пересекает ось OX в точке $x = 3$. Угловой коэффициент $k=-0.5<0$, функция убывающая.
График находится выше оси OX при $x < 3$ и ниже оси OX при $x > 3$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 3)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (3; +\infty)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (-\infty; 3)$, отрицательна при $x \in (3; +\infty)$.

е) $y = 1\frac{1}{2}x - 0.3$

Преобразуем уравнение к более удобному виду: $y = 1.5x - 0.3$.
Это линейная функция. Найдем две точки.
При $x = 0$, $y = 1.5 \cdot 0 - 0.3 = -0.3$. Точка (0; -0.3).
При $y = 0$, $1.5x - 0.3 = 0$, откуда $1.5x = 0.3$, $x = \frac{0.3}{1.5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0.2$. Точка (0.2; 0).
Проводим прямую через эти две точки. График пересекает ось OX в точке $x = 0.2$. Угловой коэффициент $k=1.5>0$, функция возрастающая.
График находится выше оси OX при $x > 0.2$ и ниже оси OX при $x < 0.2$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (0.2; +\infty)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; 0.2)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (0.2; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; 0.2)$.

27. Запишите интервал, на котором линейная функция, график которой изображён на рисунке 5, принимает положительные значения; отрицательные значения.

a) Положительные значения: $ (-0.5; +\infty) $

Отрицательные значения: $ (-\infty; -0.5) $

б) Положительные значения: $ (-\infty; 2) $

Отрицательные значения: $ (2; +\infty) $

в) Положительные значения: $ (1; +\infty) $

Отрицательные значения: $ (-\infty; 1) $

г) Положительные значения: $ (-\infty; -3) $

Отрицательные значения: $ (-3; +\infty) $

Рис. 5

Для определения интервалов, на которых линейная функция принимает положительные или отрицательные значения, необходимо найти точку пересечения ее графика с осью абсцисс ($Ox$). Эта точка называется нулем функции. Значения $x$, при которых график функции находится выше оси $Ox$, соответствуют положительным значениям функции ($y > 0$). Значения $x$, при которых график находится ниже оси $Ox$, соответствуют отрицательным значениям функции ($y < 0$).

а)

Найдем уравнение прямой, изображенной на рисунке. Прямая проходит через точку $(0, 3)$, поэтому ее уравнение имеет вид $y = kx + 3$. Для нахождения коэффициента $k$ воспользуемся еще одной точкой, которую можно определить из графика, например, $(-1, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$1 = k \cdot (-1) + 3$

$1 = -k + 3$

$k = 2$

Таким образом, уравнение функции: $y = 2x + 3$.

Найдем точку пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $y = 0$:

$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда $2x + 3 > 0$, то есть при $x > -1.5$. График находится выше оси $Ox$.

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда $2x + 3 < 0$, то есть при $x < -1.5$. График находится ниже оси $Ox$.

Ответ: функция принимает положительные значения на интервале $(-1.5; +\infty)$ и отрицательные значения на интервале $(-\infty; -1.5)$.

б)

Из графика видно, что прямая пересекает ось абсцисс $Ox$ в точке $x = 2$. Это нуль функции.

При $x < 2$ (слева от точки пересечения) график функции находится выше оси $Ox$, следовательно, функция принимает положительные значения.

При $x > 2$ (справа от точки пересечения) график функции находится ниже оси $Ox$, следовательно, функция принимает отрицательные значения.

Ответ: функция принимает положительные значения на интервале $(-\infty; 2)$ и отрицательные значения на интервале $(2; +\infty)$.

в)

Из графика видно, что прямая пересекает ось абсцисс $Ox$ в точке $x = 1$. Это нуль функции.

При $x > 1$ (справа от точки пересечения) график функции находится выше оси $Ox$, следовательно, функция принимает положительные значения.

При $x < 1$ (слева от точки пересечения) график функции находится ниже оси $Ox$, следовательно, функция принимает отрицательные значения.

Ответ: функция принимает положительные значения на интервале $(1; +\infty)$ и отрицательные значения на интервале $(-\infty; 1)$.

г)

Из графика видно, что прямая пересекает ось абсцисс $Ox$ в точке $x = -3$. Это нуль функции.

При $x < -3$ (слева от точки пересечения) график функции находится выше оси $Ox$, следовательно, функция принимает положительные значения.

При $x > -3$ (справа от точки пересечения) график функции находится ниже оси $Ox$, следовательно, функция принимает отрицательные значения.

Ответ: функция принимает положительные значения на интервале $(-\infty; -3)$ и отрицательные значения на интервале $(-3; +\infty)$.