Номер 27, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

27. Запишите интервал, на котором линейная функция, график которой изображён на рисунке 5, принимает положительные значения; отрицательные значения.

a) Положительные значения: $ (-0.5; +\infty) $

Отрицательные значения: $ (-\infty; -0.5) $

б) Положительные значения: $ (-\infty; 2) $

Отрицательные значения: $ (2; +\infty) $

в) Положительные значения: $ (1; +\infty) $

Отрицательные значения: $ (-\infty; 1) $

г) Положительные значения: $ (-\infty; -3) $

Отрицательные значения: $ (-3; +\infty) $

Рис. 5

Для определения интервалов, на которых линейная функция принимает положительные или отрицательные значения, необходимо найти точку пересечения ее графика с осью абсцисс ($Ox$). Эта точка называется нулем функции. Значения $x$, при которых график функции находится выше оси $Ox$, соответствуют положительным значениям функции ($y > 0$). Значения $x$, при которых график находится ниже оси $Ox$, соответствуют отрицательным значениям функции ($y < 0$).

а)

Найдем уравнение прямой, изображенной на рисунке. Прямая проходит через точку $(0, 3)$, поэтому ее уравнение имеет вид $y = kx + 3$. Для нахождения коэффициента $k$ воспользуемся еще одной точкой, которую можно определить из графика, например, $(-1, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$1 = k \cdot (-1) + 3$

$1 = -k + 3$

$k = 2$

Таким образом, уравнение функции: $y = 2x + 3$.

Найдем точку пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $y = 0$:

$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда $2x + 3 > 0$, то есть при $x > -1.5$. График находится выше оси $Ox$.

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда $2x + 3 < 0$, то есть при $x < -1.5$. График находится ниже оси $Ox$.

Ответ: функция принимает положительные значения на интервале $(-1.5; +\infty)$ и отрицательные значения на интервале $(-\infty; -1.5)$.

б)

Из графика видно, что прямая пересекает ось абсцисс $Ox$ в точке $x = 2$. Это нуль функции.

При $x < 2$ (слева от точки пересечения) график функции находится выше оси $Ox$, следовательно, функция принимает положительные значения.

При $x > 2$ (справа от точки пересечения) график функции находится ниже оси $Ox$, следовательно, функция принимает отрицательные значения.

Ответ: функция принимает положительные значения на интервале $(-\infty; 2)$ и отрицательные значения на интервале $(2; +\infty)$.

в)

Из графика видно, что прямая пересекает ось абсцисс $Ox$ в точке $x = 1$. Это нуль функции.

При $x > 1$ (справа от точки пересечения) график функции находится выше оси $Ox$, следовательно, функция принимает положительные значения.

При $x < 1$ (слева от точки пересечения) график функции находится ниже оси $Ox$, следовательно, функция принимает отрицательные значения.

Ответ: функция принимает положительные значения на интервале $(1; +\infty)$ и отрицательные значения на интервале $(-\infty; 1)$.

г)

Из графика видно, что прямая пересекает ось абсцисс $Ox$ в точке $x = -3$. Это нуль функции.

При $x < -3$ (слева от точки пересечения) график функции находится выше оси $Ox$, следовательно, функция принимает положительные значения.

При $x > -3$ (справа от точки пересечения) график функции находится ниже оси $Ox$, следовательно, функция принимает отрицательные значения.

Ответ: функция принимает положительные значения на интервале $(-\infty; -3)$ и отрицательные значения на интервале $(-3; +\infty)$.