Номер 33, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

33. Являются ли равносильными неравенства:

а) $2x - 1 > 6$ и $6 > 2x - 1;$

б) $x < 3$ и $x + 2 < 5;$

в) $2x > 4$ и $x < 2;$

г) $2x > 5$ и $x - 7 > -2 - x;$

д) $2 < 7 - x$ и $3x < 5 + 2x;$

е) $3x - 7 > 5$ и $-3x + 7 < -5?$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы проверить равносильность данных пар неравенств, нужно решить каждое из них и сравнить полученные множества решений.

а) $2x - 1 > 6$ и $6 > 2x - 1$

Решим первое неравенство:

$2x - 1 > 6$

$2x > 6 + 1$

$2x > 7$

$x > 3.5$

Множество решений первого неравенства — это интервал $(3.5; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$6 > 2x - 1$

Это неравенство можно переписать как $2x - 1 < 6$.

$2x < 6 + 1$

$2x < 7$

$x < 3.5$

Множество решений второго неравенства — это интервал $(-\infty; 3.5)$.

Так как множества решений $(3.5; +\infty)$ и $(-\infty; 3.5)$ не совпадают, неравенства не являются равносильными.

Ответ: не являются равносильными.

б) $x < 3$ и $x + 2 < 5$

Множество решений первого неравенства $x < 3$ уже задано: $(-\infty; 3)$.

Решим второе неравенство:

$x + 2 < 5$

$x < 5 - 2$

$x < 3$

Множество решений второго неравенства также является $(-\infty; 3)$.

Множества решений совпадают.

Ответ: являются равносильными.

в) $2x > 4$ и $x < 2$

Решим первое неравенство:

$2x > 4$

$x > \frac{4}{2}$

$x > 2$

Множество решений первого неравенства: $(2; +\infty)$.

Множество решений второго неравенства $x < 2$: $(-\infty; 2)$.

Множества решений $(2; +\infty)$ и $(-\infty; 2)$ не совпадают.

Ответ: не являются равносильными.

г) $2x > 5$ и $x - 7 > -2 - x$

Решим первое неравенство:

$2x > 5$

$x > \frac{5}{2}$ или $x > 2.5$

Множество решений первого неравенства: $(2.5; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x - 7 > -2 - x$

$x + x > 7 - 2$

$2x > 5$

$x > \frac{5}{2}$ или $x > 2.5$

Множество решений второго неравенства также $(2.5; +\infty)$.

Множества решений совпадают.

Ответ: являются равносильными.

д) $2 < 7 - x$ и $3x < 5 + 2x$

Решим первое неравенство:

$2 < 7 - x$

$x < 7 - 2$

$x < 5$

Множество решений первого неравенства: $(-\infty; 5)$.

Решим второе неравенство:

$3x < 5 + 2x$

$3x - 2x < 5$

$x < 5$

Множество решений второго неравенства также $(-\infty; 5)$.

Множества решений совпадают.

Ответ: являются равносильными.

е) $3x - 7 > 5$ и $-3x + 7 < -5$

Решим первое неравенство:

$3x - 7 > 5$

$3x > 5 + 7$

$3x > 12$

$x > \frac{12}{3}$

$x > 4$

Множество решений первого неравенства: $(4; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$-3x + 7 < -5$

$-3x < -5 - 7$

$-3x < -12$

Разделим обе части на $-3$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-12}{-3}$

$x > 4$

Множество решений второго неравенства также $(4; +\infty)$.

Множества решений совпадают.

Ответ: являются равносильными.