Номер 30, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

30. а) Какое неравенство называют линейным неравенством с одним неизвестным?

б) Что называют членами линейного неравенства?

в) Какие неравенства называют равносильными?

г) Сформулируйте утверждения о равносильности неравенств.

а) Линейным неравенством с одним неизвестным называют неравенство, которое в результате преобразований можно свести к одному из следующих видов: $ax > b$, $ax < b$, $ax \ge b$ или $ax \le b$. В этих неравенствах $x$ является переменной (или неизвестным), а $a$ и $b$ — это некоторые действительные числа, которые называют коэффициентами. Принципиально важным является условие, что коэффициент $a$ при переменной не равен нулю ($a \ne 0$), поскольку в случае $a = 0$ неравенство перестает содержать переменную и становится либо верным, либо неверным числовым неравенством.

Ответ: Линейным неравенством с одним неизвестным называется неравенство вида $ax > b$, $ax < b$, $ax \ge b$ или $ax \le b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — числа, причем $a \ne 0$.

б) Каждое неравенство состоит из двух частей — левой и правой, которые разделены знаком неравенства ($>$, <, $\ge$ или $\le$). Членами неравенства называют отдельные слагаемые, из которых состоят эти части. Например, рассмотрим неравенство $7x - 15 < 3x + 5$. Его левая часть — это выражение $7x - 15$, а правая — $3x + 5$. Членами данного неравенства являются слагаемые $7x$, $-15$, $3x$ и $5$.

Ответ: Членами линейного неравенства называют слагаемые, из которых состоят его левая и правая части.

в) Неравенства называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Это означает, что любое решение первого неравенства является решением второго, и любое решение второго является решением первого. Неравенства, которые не имеют решений, также считаются равносильными друг другу. Например, неравенства $x+3 > 5$ и $x > 2$ равносильны, так как решением обоих является любое число, большее 2, то есть интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: Равносильными называют неравенства, множества решений которых совпадают. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

г) Равносильность неравенств определяется несколькими ключевыми утверждениями (свойствами), которые лежат в основе методов их решения. Эти утверждения позволяют преобразовывать исходное неравенство в более простое, но равносильное ему.

1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной его части в другую, изменив знак этого члена на противоположный, то получится новое неравенство, равносильное исходному. Это свойство аналогично переносу слагаемых в уравнениях.

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное исходному. При этом знак неравенства сохраняется.

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный (то есть знак $>$ на <, < на $>$, $\ge$ на $\le$, а $\le$ на $\ge$), то получится неравенство, равносильное исходному.

Ответ: Утверждения о равносильности неравенств:
1. Перенос любого члена из одной части неравенства в другую с изменением его знака на противоположный приводит к равносильному неравенству.
2. Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число приводит к равносильному неравенству (знак неравенства сохраняется).
3. Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число с одновременным изменением знака неравенства на противоположный приводит к равносильному неравенству.