Страница 18 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

47. Что значит решить систему линейных неравенств с одним неизвестным?

Решить систему линейных неравенств с одним неизвестным — это значит найти все значения переменной (неизвестного), при подстановке которых каждое из неравенств системы превращается в верное числовое неравенство.

Совокупность всех таких значений переменной называется решением системы неравенств. Таким образом, искомое решение должно удовлетворять каждому неравенству в системе одновременно. Если таких значений не существует, говорят, что система не имеет решений.

Алгоритм решения системы линейных неравенств с одним неизвестным обычно включает следующие шаги:

1. Решение каждого неравенства по отдельности. Для этого выполняют преобразования с каждым неравенством, чтобы выразить переменную. Решением отдельного линейного неравенства является числовой промежуток (луч, интервал, отрезок или полуинтервал).
2. Нахождение пересечения множеств решений. После того как найдены решения для каждого отдельного неравенства, необходимо найти их общую часть — пересечение. Это и будет решением всей системы. Для наглядности удобно изображать множества решений на числовой оси.

Рассмотрим пример. Пусть дана система:

$ \begin{cases} 3x + 6 > 0 \\ 10 - 2x \ge 4 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:
$3x > -6$
$x > -2$
Решение этого неравенства — промежуток $(-2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:
$-2x \ge 4 - 10$
$-2x \ge -6$
При делении на отрицательное число ($-2$) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le 3$
Решение этого неравенства — промежуток $(-\infty; 3]$.

3. Найдем пересечение полученных множеств решений: $(-2; +\infty) \cap (-\infty; 3]$. На числовой оси это будет промежуток, где штриховки для обоих решений совпадают. Общей частью является полуинтервал $(-2; 3]$.

Таким образом, решением данной системы является множество всех чисел $x$, таких что $-2 < x \le 3$.

Возможны случаи, когда система не имеет решений (промежутки не пересекаются) или решением является одно число (например, для системы $x \ge 5$ и $x \le 5$ решением будет $x = 5$).

Ответ: Решить систему линейных неравенств с одним неизвестным — это найти множество всех значений переменной, которые являются решением для каждого из неравенств системы одновременно. Это множество находится как пересечение множеств решений всех неравенств, входящих в систему. Если пересечение пусто, система не имеет решений.

48. Найдите хотя бы одно общее решение неравенств:

а) $x > 3$ и $x > 2$;

б) $x < -2$ и $x < -1$;

в) $x + 1 > 0$ и $x - 1 > 0$;

г) $x - 2 < 0$ и $x + 2 < 0$;

д) $2x > -4$ и $x + 1 < 0$;

е) $3x < 9$ и $x + 3 > 0$.

а) Чтобы найти общее решение для неравенств $x > 3$ и $x > 2$, необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Если число больше 3, оно автоматически будет больше 2. Следовательно, пересечением множеств решений этих двух неравенств будет множество $x > 3$. В качестве одного общего решения можно выбрать любое число, которое больше 3. Например, выберем $x=4$. Проверим: $4 > 3$ (верно) и $4 > 2$ (верно).
Ответ: $x=4$

б) Для неравенств $x < -2$ и $x < -1$ общее решение должно быть меньше -2 и меньше -1. Если число меньше -2, то оно автоматически будет меньше -1. Таким образом, общее решение системы — это $x < -2$. Возьмем любое число из этого промежутка, например, $x=-3$. Проверим: $-3 < -2$ (верно) и $-3 < -1$ (верно).
Ответ: $x=-3$

в) Рассмотрим систему неравенств $x + 1 > 0$ и $x - 1 > 0$. Решим каждое из них:
1. $x + 1 > 0 \implies x > -1$
2. $x - 1 > 0 \implies x > 1$
Мы ищем числа, которые одновременно больше -1 и больше 1. Этому условию удовлетворяют все числа, которые больше 1, то есть $x > 1$. В качестве примера решения можно взять $x=2$. Проверим: $2+1=3 > 0$ (верно) и $2-1=1 > 0$ (верно).
Ответ: $x=2$

г) Рассмотрим систему неравенств $x - 2 < 0$ и $x + 2 < 0$. Решим каждое из них:
1. $x - 2 < 0 \implies x < 2$
2. $x + 2 < 0 \implies x < -2$
Мы ищем числа, которые одновременно меньше 2 и меньше -2. Этому условию удовлетворяют все числа, которые меньше -2, то есть $x < -2$. В качестве примера решения можно взять $x=-5$. Проверим: $-5-2=-7 < 0$ (верно) и $-5+2=-3 < 0$ (верно).
Ответ: $x=-5$

д) Рассмотрим систему неравенств $2x > -4$ и $x + 1 < 0$. Решим каждое из них:
1. $2x > -4 \implies x > \frac{-4}{2} \implies x > -2$
2. $x + 1 < 0 \implies x < -1$
Общее решение — это множество чисел $x$, удовлетворяющих условию $-2 < x < -1$. Выберем любое число из этого интервала, например, $x=-1.5$. Проверим: $2 \cdot (-1.5) = -3$, что больше -4 (верно), и $-1.5+1 = -0.5$, что меньше 0 (верно).
Ответ: $x=-1.5$

е) Рассмотрим систему неравенств $3x < 9$ и $x + 3 > 0$. Решим каждое из них:
1. $3x < 9 \implies x < \frac{9}{3} \implies x < 3$
2. $x + 3 > 0 \implies x > -3$
Общее решение — это множество чисел $x$, удовлетворяющих условию $-3 < x < 3$. Выберем любое число из этого интервала, например, $x=0$. Проверим: $3 \cdot 0 = 0 < 9$ (верно) и $0+3=3 > 0$ (верно).
Ответ: $x=0$

Отметьте на координатной оси все решения системы неравенств, если они существуют (49–51):

49. a) $\begin{cases} x > 3, \\ x > 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x > -2, \\ x > 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x > 0, \\ x > 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x > -3, \\ x > -5. \end{cases}$

а)

Для решения системы неравенств $ \begin{cases} x > 3, \\ x > 1, \end{cases} $ необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Первое неравенство, $x > 1$, означает все числа, расположенные на координатной оси правее 1. Второе неравенство, $x > 3$, означает все числа правее 3. Пересечением этих двух множеств будут числа, которые одновременно больше 1 и больше 3. Очевидно, что если число больше 3, оно автоматически больше 1. Таким образом, общее решение системы — это $x > 3$. На координатной оси это изображается как луч, начинающийся от выколотой точки 3 и идущий вправо.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

б)

Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} x > -2, \\ x > 1. \end{cases} $ Мы ищем все числа $x$, которые одновременно больше -2 и больше 1. Если число больше 1, то оно тем более больше -2. Следовательно, решением системы является более сильное (ограничивающее) неравенство $x > 1$. На координатной оси решение представляет собой открытый луч, начинающийся в точке 1 и направленный в сторону положительной бесконечности. Точка 1 не входит в решение, поэтому она отмечается как выколотая.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

в)

Решим систему неравенств $ \begin{cases} x > 0, \\ x > 4. \end{cases} $ Решение этой системы — это множество всех чисел, которые одновременно больше 0 и больше 4. Если число больше 4, оно автоматически больше 0. Таким образом, общим решением является неравенство $x > 4$. На координатной оси это множество точек, расположенных справа от выколотой точки 4.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

г)

Решим систему неравенств $ \begin{cases} x > -3, \\ x > -5. \end{cases} $ Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам. Так как число -3 находится на координатной оси правее числа -5 (то есть $-3 > -5$), любое число, которое больше -3, будет также и больше -5. Поэтому решением системы является неравенство $x > -3$. На координатной оси это интервал, начинающийся от выколотой точки -3 и идущий вправо.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.