Страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

58. Определите интервал оси $Ox$, на котором:

а) значение функции $y = 5x - 8$ больше нуля, а значение функции $y = -5x + 8$ меньше нуля;

б) значения функции $y = 5x - 8$ больше соответствующих значений функции $y = -5x + 8$.

а) Для нахождения искомого интервала необходимо решить систему из двух неравенств. Первое условие: значение функции $y = 5x - 8$ больше нуля. Второе условие: значение функции $y = -5x + 8$ меньше нуля.

Запишем эти условия в виде системы неравенств:

$ \begin{cases} 5x - 8 > 0 \\ -5x + 8 < 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$5x - 8 > 0$

$5x > 8$

$x > \frac{8}{5}$

$x > 1.6$

Решим второе неравенство:

$-5x + 8 < 0$

$-5x < -8$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число ($-5$), знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-8}{-5}$

$x > \frac{8}{5}$

$x > 1.6$

Оба условия выполняются для тех же значений $x$. Пересечением решений $x > 1.6$ и $x > 1.6$ является интервал $x > 1.6$.

Ответ: $(1.6; +\infty)$

б) Чтобы найти интервал, на котором значения функции $y = 5x - 8$ больше соответствующих значений функции $y = -5x + 8$, необходимо решить следующее неравенство:

$5x - 8 > -5x + 8$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые константы — в правой:

$5x + 5x > 8 + 8$

$10x > 16$

Разделим обе части неравенства на 10:

$x > \frac{16}{10}$

Сократим дробь:

$x > \frac{8}{5}$

$x > 1.6$

Следовательно, искомый интервал — это все значения $x$, которые больше $1.6$.

Ответ: $(1.6; +\infty)$

59. На рисунке 10 изображены графики линейных функций, обозначенных $y_1$ и $y_2$. Определите все значения $x$, при каждом из которых:

а) $y_1 > y_2$;

б) $y_1 < y_2$.

Поскольку изображение графика ("Рисунок 10") к задаче не предоставлено, невозможно дать точный численный ответ. Однако можно описать общий алгоритм решения и привести пример, который покажет, как решать подобные задачи.

Общий алгоритм решения по графику:

1. Найдите на графике точку, в которой пересекаются прямые $y_1$ и $y_2$.
2. Определите абсциссу (координату по оси $x$) этой точки. Обозначим ее $x_0$. В этой точке значения функций равны, то есть $y_1 = y_2$.
3. Для решения неравенства $y_1 > y_2$ найдите те значения $x$, для которых линия графика $y_1$ расположена выше линии графика $y_2$.
4. Для решения неравенства $y_1 < y_2$ найдите те значения $x$, для которых линия графика $y_1$ расположена ниже линии графика $y_2$.

Рассмотрим гипотетический пример. Допустим, на "Рисунке 10" мы видим, что графики функций $y_1$ и $y_2$ — это прямые, которые пересекаются в точке с абсциссой $x = -1$. Предположим также, что график $y_1$ — это убывающая прямая (наклонена вниз), а график $y_2$ — возрастающая прямая (наклонена вверх).

а)

Нам нужно найти все значения $x$, при которых $y_1 > y_2$.

Это условие выполняется на том промежутке, где график функции $y_1$ находится выше графика функции $y_2$.

Поскольку $y_1$ является убывающей, а $y_2$ — возрастающей, то до их точки пересечения (то есть при $x < -1$) график $y_1$ будет выше графика $y_2$. После точки пересечения (при $x > -1$) график $y_1$ опустится ниже графика $y_2$.

Таким образом, неравенство $y_1 > y_2$ выполняется для всех $x$ левее точки пересечения.

Ответ: $x < -1$.

б)

Нам нужно найти все значения $x$, при которых $y_1 < y_2$.

Это условие выполняется на том промежутке, где график функции $y_1$ находится ниже графика функции $y_2$.

Исходя из анализа в пункте а), график $y_1$ находится ниже графика $y_2$ справа от точки их пересечения.

Таким образом, неравенство $y_1 < y_2$ выполняется для всех $x$ правее точки пересечения.

Ответ: $x > -1$.

Примечание: Это решение основано на гипотетическом графике. Для получения правильного ответа к вашей задаче необходимо посмотреть на ваш "Рисунок 10", найти точную абсциссу точки пересечения и определить, какой график находится выше, а какой ниже на интервалах слева и справа от этой точки.

60. Решите систему неравенств, используя графики линейных функций:

a) $\begin{cases} 3x < 0, \\ x + 2 > 0 \end{cases};$

б) $\begin{cases} -5x < 0, \\ 3 - x < 0 \end{cases};$

в) $\begin{cases} 4x + 2 > 0, \\ x + 1 < 0 \end{cases}.$

а) Для решения системы неравенств $ \begin{cases} 3x < 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $ графическим методом, рассмотрим две линейные функции: $y_1 = 3x$ и $y_2 = x + 2$.

Первое неравенство, $3x < 0$, означает, что мы ищем значения $x$, для которых график функции $y_1 = 3x$ находится ниже оси абсцисс (Ox). График функции $y_1 = 3x$ – это прямая, проходящая через начало координат (0,0) и, например, точку (1,3). Эта прямая пересекает ось Ox в точке $x=0$ и находится ниже оси для всех $x < 0$.

Второе неравенство, $x + 2 > 0$, означает, что мы ищем значения $x$, для которых график функции $y_2 = x + 2$ находится выше оси абсцисс. График функции $y_2 = x + 2$ – это прямая, проходящая через точки (-2,0) и (0,2). Эта прямая пересекает ось Ox в точке $x=-2$ и находится выше оси для всех $x > -2$.

Решением системы является пересечение (общая часть) найденных промежутков: $x < 0$ и $x > -2$. Это интервал от -2 до 0, не включая концы.

Ответ: $x \in (-2; 0)$.

б) Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} -5x < 0 \\ 3 - x < 0 \end{cases} $. Для ее решения используем графики линейных функций $y_1 = -5x$ и $y_2 = 3 - x$.

Неравенство $-5x < 0$ выполняется для тех $x$, при которых график функции $y_1 = -5x$ расположен ниже оси Ox. График $y_1 = -5x$ – это прямая, проходящая через начало координат (0,0) и точку (1,-5). Прямая пересекает ось Ox в точке $x=0$ и находится ниже оси при $x > 0$.

Неравенство $3 - x < 0$ выполняется для тех $x$, при которых график функции $y_2 = 3 - x$ также расположен ниже оси Ox. График $y_2 = 3 - x$ – это прямая, проходящая через точки (3,0) и (0,3). Прямая пересекает ось Ox в точке $x=3$ и находится ниже оси при $x > 3$.

Решением системы является пересечение промежутков, где выполняются оба неравенства: $x > 0$ и $x > 3$. Общей частью этих двух промежутков является $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

в) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 4x + 2 > 0 \\ x + 1 < 0 \end{cases} $ с помощью графиков функций $y_1 = 4x + 2$ и $y_2 = x + 1$.

Для первого неравенства, $4x + 2 > 0$, мы ищем значения $x$, при которых график функции $y_1 = 4x + 2$ лежит выше оси Ox. График $y_1 = 4x + 2$ – это прямая, пересекающая оси в точках $(-0.5, 0)$ и $(0, 2)$. График лежит выше оси Ox при $x > -0.5$.

Для второго неравенства, $x + 1 < 0$, мы ищем значения $x$, при которых график функции $y_2 = x + 1$ лежит ниже оси Ox. График $y_2 = x + 1$ – это прямая, пересекающая оси в точках $(-1, 0)$ и $(0, 1)$. График лежит ниже оси Ox при $x < -1$.

Решение системы – это пересечение полученных множеств: $x > -0.5$ и $x < -1$. Не существует числа, которое было бы одновременно больше $-0.5$ и меньше $-1$. Следовательно, пересечение этих множеств пусто.

Ответ: решений нет.

61. Решите двойное неравенство двумя способами:

a) $0 < 3x < 2$;

б) $-1 < \frac{2}{7}x < 8$;

в) $1 < x + 4 < 2$;

г) $-7 < x - 6 < -2$;

д) $0 < 3x - 7 < 3$;

е) $-8 < 0.5x + 1 < -4$.

Рис. 10

а) $0 < 3x < 2$

Способ 1: Алгебраический
Данное двойное неравенство можно решить, выполнив одинаковые операции со всеми тремя его частями. Чтобы выделить $x$ в средней части, разделим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не изменятся.
$\frac{0}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{2}{3}$
$0 < x < \frac{2}{3}$
Решением является интервал $(0; \frac{2}{3})$.

Способ 2: Графический
Решение неравенства $0 < 3x < 2$ соответствует нахождению таких значений $x$, при которых график функции $y_1 = 3x$ лежит выше графика функции $y_2 = 0$ (ось Ox) и ниже графика функции $y_3 = 2$.
Построим в одной системе координат три графика:
1. $y_1 = 3x$ (прямая, проходящая через начало координат).
2. $y_2 = 0$ (ось абсцисс).
3. $y_3 = 2$ (горизонтальная прямая).
Найдем абсциссы точек пересечения графика $y_1 = 3x$ с прямыми $y_2=0$ и $y_3=2$:
$3x = 0 \implies x = 0$
$3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$
Из графика видно, что прямая $y_1 = 3x$ находится между прямыми $y_2=0$ и $y_3=2$ на интервале $x$ от $0$ до $\frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (0; \frac{2}{3})$

б) $-1 < \frac{2}{7}x < 8$

Способ 1: Алгебраический
Чтобы выделить $x$, умножим все три части неравенства на $\frac{7}{2}$. Так как $\frac{7}{2} > 0$, знаки неравенства сохраняются.
$-1 \cdot \frac{7}{2} < \frac{2}{7}x \cdot \frac{7}{2} < 8 \cdot \frac{7}{2}$
$-\frac{7}{2} < x < 28$
$-3.5 < x < 28$
Решением является интервал $(-3.5; 28)$.

Способ 2: Графический
Рассмотрим три функции: $y_1 = \frac{2}{7}x$, $y_2 = -1$ и $y_3 = 8$. Нам нужно найти те значения $x$, для которых график $y_1$ находится между графиками $y_2$ и $y_3$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
$\frac{2}{7}x = -1 \implies x = -\frac{7}{2} = -3.5$
$\frac{2}{7}x = 8 \implies x = 8 \cdot \frac{7}{2} = 28$
Следовательно, график функции $y_1 = \frac{2}{7}x$ расположен между горизонтальными прямыми $y=-1$ и $y=8$ при $x \in (-3.5; 28)$.

Ответ: $x \in (-3.5; 28)$

в) $1 < x + 4 < 2$

Способ 1: Алгебраический
Вычтем 4 из каждой части неравенства, чтобы выделить $x$ в середине.
$1 - 4 < x + 4 - 4 < 2 - 4$
$-3 < x < -2$
Решением является интервал $(-3; -2)$.

Способ 2: Графический
Задача сводится к нахождению значений $x$, при которых график функции $y_1 = x+4$ находится между горизонтальными прямыми $y_2=1$ и $y_3=2$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
$x + 4 = 1 \implies x = -3$
$x + 4 = 2 \implies x = -2$
График функции $y_1=x+4$ находится между прямыми $y=1$ и $y=2$ на интервале $x$ от $-3$ до $-2$.

Ответ: $x \in (-3; -2)$

г) $-7 < x - 6 < -2$

Способ 1: Алгебраический
Прибавим 6 к каждой части неравенства.
$-7 + 6 < x - 6 + 6 < -2 + 6$
$-1 < x < 4$
Решением является интервал $(-1; 4)$.

Способ 2: Графический
Ищем значения $x$, при которых график функции $y_1 = x-6$ лежит между прямыми $y_2=-7$ и $y_3=-2$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
$x - 6 = -7 \implies x = -1$
$x - 6 = -2 \implies x = 4$
График $y_1=x-6$ находится между прямыми $y=-7$ и $y=-2$ при $x$ от $-1$ до $4$.

Ответ: $x \in (-1; 4)$

д) $0 < 3x - 7 < 3$

Способ 1: Алгебраический
Сначала прибавим 7 ко всем частям неравенства.
$0 + 7 < 3x - 7 + 7 < 3 + 7$
$7 < 3x < 10$
Затем разделим все части на 3.
$\frac{7}{3} < x < \frac{10}{3}$
$2\frac{1}{3} < x < 3\frac{1}{3}$
Решением является интервал $(\frac{7}{3}; \frac{10}{3})$.

Способ 2: Графический
Нужно найти значения $x$, при которых график функции $y_1 = 3x-7$ находится между прямыми $y_2=0$ (ось Ox) и $y_3=3$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
$3x - 7 = 0 \implies 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}$
$3x - 7 = 3 \implies 3x = 10 \implies x = \frac{10}{3}$
График функции $y_1 = 3x-7$ находится между прямыми $y=0$ и $y=3$ при $x \in (\frac{7}{3}; \frac{10}{3})$.

Ответ: $x \in (\frac{7}{3}; \frac{10}{3})$

е) $-8 < 0.5x + 1 < -4$

Способ 1: Алгебраический
Сначала вычтем 1 из всех частей неравенства.
$-8 - 1 < 0.5x + 1 - 1 < -4 - 1$
$-9 < 0.5x < -5$
Теперь умножим все части на 2.
$-9 \cdot 2 < 0.5x \cdot 2 < -5 \cdot 2$
$-18 < x < -10$
Решением является интервал $(-18; -10)$.

Способ 2: Графический
Ищем значения $x$, при которых график функции $y_1 = 0.5x+1$ лежит между прямыми $y_2=-8$ и $y_3=-4$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
$0.5x + 1 = -8 \implies 0.5x = -9 \implies x = -18$
$0.5x + 1 = -4 \implies 0.5x = -5 \implies x = -10$
График $y_1 = 0.5x+1$ находится между прямыми $y=-8$ и $y=-4$ при $x$ от $-18$ до $-10$.

Ответ: $x \in (-18; -10)$