Страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

70. а) Какой вид имеет неравенство второй степени с одним неизвестным $x$?

б) Что называют дискриминантом неравенства второй степени $ax^2 + bx + c > 0 (a \neq 0)$?

в) Что называют решением неравенства с одним неизвестным $x$?

г) Что значит решить неравенство с одним неизвестным?

д) Что значит, что два неравенства равносильны?

е) Сформулируйте утверждения о равносильности неравенств.

а) Неравенством второй степени с одним неизвестным x называют неравенство, которое можно привести к одному из следующих видов: $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \geq 0$, $ax^2 + bx + c \leq 0$, где x — переменная, а a, b и c — некоторые числа (коэффициенты), причем коэффициент при старшей степени a не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Ответ: Неравенства вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \geq 0$, $ax^2 + bx + c \leq 0$, где $a \neq 0$.

б) Дискриминантом неравенства второй степени, например $ax^2 + bx + c > 0$, называют дискриминант соответствующего квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$. Эта величина играет ключевую роль при решении неравенства, так как ее знак определяет наличие и количество действительных корней у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, что, в свою очередь, определяет, как расположена парабола $y = ax^2 + bx + c$ относительно оси абсцисс. Вычисляется дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Ответ: Дискриминантом неравенства второй степени $ax^2 + bx + c > 0$ ($a \neq 0$) называют дискриминант $D$ квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$, вычисляемый по формуле $D = b^2 - 4ac$.

в) Решением неравенства с одним неизвестным x называется такое значение переменной x, при подстановке которого в исходное неравенство оно превращается в верное числовое неравенство. Например, для неравенства $x^2 > 9$, число $x = 4$ является решением, так как $4^2 > 9$ (то есть $16 > 9$) — верное утверждение. А число $x = 2$ не является решением, так как $2^2 > 9$ (то есть $4 > 9$) — неверное утверждение.

Ответ: Решением неравенства с одним неизвестным называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

г) Решить неравенство с одним неизвестным — это значит найти все его решения (то есть все значения переменной, которые ему удовлетворяют) или доказать, что таких решений не существует. Совокупность всех решений неравенства называется множеством решений. Обычно это множество представляет собой числовой промежуток, объединение нескольких промежутков или пустое множество.

Ответ: Решить неравенство — значит найти множество всех его решений или доказать, что решений нет.

д) Два неравенства называются равносильными (или эквивалентными) на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одинаковые множества решений. Если множество не указано, то подразумевается равносильность на множестве всех действительных чисел. Другими словами, любое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными (их общее множество решений — пустое множество).

Ответ: Два неравенства равносильны, если множества их решений совпадают.

е) Равносильность неравенств описывается следующими основными утверждениями (или свойствами), которые позволяют заменять одно неравенство другим, более простым, но равносильным ему:

Утверждение 1. Если из одной части неравенства перенести в другую какой-либо член с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное исходному.

Утверждение 2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на выражение, принимающее только положительные значения), сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.

Утверждение 3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на выражение, принимающее только отрицательные значения), изменив при этом знак неравенства на противоположный (например, $>$ на <, $\leq$ на $\geq$), то получится неравенство, равносильное исходному.

Ответ: Основные утверждения о равносильности неравенств:
1. Перенос слагаемых из одной части в другую с изменением их знака на противоположный.
2. Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число (или выражение) с сохранением знака неравенства.
3. Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число (или выражение) с изменением знака неравенства на противоположный.

71. Является ли неравенство:

а) $3 - 2x > 0;$

б) $7x - 3 < 1 + 7x;$

в) $x^2 - 5x + 1 < 0;$

г) $7x - \frac{x}{3} > 0;$

д) $4x - 5x^2 > 0;$

е) $3x^2 + 7 < 0$

неравенством первой степени? линейным неравенством? неравенством второй степени?

Для определения типа неравенства необходимо определить старшую степень входящей в него переменной после приведения всех подобных членов.

Неравенство первой степени (или линейное неравенство) — это неравенство, которое можно свести к виду $ax + b > 0$ (или $<, \ge, \le$), где $a \neq 0$. Старшая степень переменной в таком неравенстве равна 1.

Неравенство второй степени (или квадратное неравенство) — это неравенство, которое можно свести к виду $ax^2 + bx + c > 0$ (или $<, \ge, \le$), где $a \neq 0$. Старшая степень переменной в таком неравенстве равна 2.

а) $3 - 2x > 0$

Данное неравенство содержит переменную $x$ в первой степени. Его можно записать в виде $-2x + 3 > 0$, что соответствует стандартному виду линейного неравенства $ax + b > 0$ при $a=-2$ и $b=3$. Так как $a \neq 0$, это неравенство первой степени и, соответственно, линейное неравенство.

Ответ: неравенство первой степени, линейное неравенство.

б) $7x - 3 < 1 + 7x$

Перенесем все члены, содержащие переменную, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$7x - 7x < 1 + 3$

$0 \cdot x < 4$

После упрощения переменная $x$ исчезает, так как коэффициент при ней становится равным нулю. В результате получается верное числовое неравенство $0 < 4$. Такое неравенство не является ни неравенством первой степени, ни неравенством второй степени.

Ответ: не является ни неравенством первой степени, ни линейным неравенством, ни неравенством второй степени.

в) $x^2 - 5x + 1 < 0$

Старшая степень переменной $x$ в этом неравенстве равна 2. Неравенство представлено в стандартном виде $ax^2 + bx + c < 0$, где $a=1, b=-5, c=1$. Так как коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a \neq 0$), это неравенство является неравенством второй степени.

Ответ: неравенство второй степени.

г) $7x - \frac{x}{3} > 0$

Упростим левую часть неравенства, приведя подобные слагаемые:

$(\frac{21}{3} - \frac{1}{3})x > 0$

$\frac{20}{3}x > 0$

В полученном неравенстве переменная $x$ находится в первой степени. Оно соответствует виду $ax > 0$, где $a = \frac{20}{3} \neq 0$. Следовательно, это неравенство первой степени и линейное неравенство.

Ответ: неравенство первой степени, линейное неравенство.

д) $4x - 5x^2 > 0$

Старшая степень переменной $x$ в этом неравенстве равна 2. Запишем его в стандартном виде: $-5x^2 + 4x > 0$. Это соответствует виду $ax^2 + bx + c > 0$, где $a=-5, b=4, c=0$. Так как $a \neq 0$, это неравенство второй степени.

Ответ: неравенство второй степени.

е) $3x^2 + 7 < 0$

Старшая степень переменной $x$ в этом неравенстве равна 2. Неравенство представлено в виде $ax^2 + bx + c < 0$, где $a=3, b=0, c=7$. Так как коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a \neq 0$), это неравенство является неравенством второй степени.

Ответ: неравенство второй степени.

72. Приведите неравенство:

а) $4x + 2x^2 - 1 > 0;$

б) $6 + x^2 < 0;$

в) $\frac{x^2}{3} - x + 0,2 < 0;$

г) $1 - 7x + \frac{x^2}{2} > 0$

к виду $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c < 0$, где $a, b, c$ — целые числа. Назовите коэффициент при $x^2$ и свободный член.

а) $4x + 2x^2 - 1 > 0$

Чтобы привести неравенство к стандартному виду $ax^2 + bx + c > 0$, необходимо расположить слагаемые в левой части в порядке убывания степеней переменной $x$.

Выполняем перестановку слагаемых:

$2x^2 + 4x - 1 > 0$

В этом неравенстве коэффициенты $a=2$, $b=4$, $c=-1$ являются целыми числами. Коэффициент при $x^2$ — это $a$, а свободный член — это $c$.

Коэффициент при $x^2$ равен 2, свободный член равен -1.

Ответ: $2x^2 + 4x - 1 > 0$; коэффициент при $x^2$ равен 2, свободный член равен -1.

б) $6 + x^2 < 0$

Переставим слагаемые, чтобы привести неравенство к стандартному виду $ax^2 + bx + c < 0$. В данном неравенстве член, содержащий $x$ в первой степени, отсутствует. Это означает, что коэффициент $b$ при нем равен нулю.

Получаем неравенство:

$x^2 + 6 < 0$

Его можно записать в полной форме как $1x^2 + 0x + 6 < 0$. Коэффициенты $a=1$, $b=0$, $c=6$ — целые. Коэффициент при $x^2$ равен 1, свободный член равен 6.

Ответ: $x^2 + 6 < 0$; коэффициент при $x^2$ равен 1, свободный член равен 6.

в) $\frac{x^2}{3} - x + 0,2 < 0$

Для того чтобы все коэффициенты стали целыми, сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Неравенство примет вид:

$\frac{x^2}{3} - x + \frac{1}{5} < 0$

Теперь умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, которое равно 15. Так как 15 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$15 \cdot (\frac{x^2}{3} - x + \frac{1}{5}) < 15 \cdot 0$

$\frac{15 \cdot x^2}{3} - 15 \cdot x + \frac{15 \cdot 1}{5} < 0$

$5x^2 - 15x + 3 < 0$

Полученное неравенство имеет вид $ax^2 + bx + c < 0$ с целыми коэффициентами $a=5$, $b=-15$, $c=3$. Коэффициент при $x^2$ равен 5, свободный член равен 3.

Ответ: $5x^2 - 15x + 3 < 0$; коэффициент при $x^2$ равен 5, свободный член равен 3.

г) $1 - 7x + \frac{x^2}{2} > 0$

Сначала расположим слагаемые в стандартном порядке — по убыванию степеней $x$.

$\frac{x^2}{2} - 7x + 1 > 0$

Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части неравенства на знаменатель дроби, то есть на 2. Поскольку 2 > 0, знак неравенства остается прежним.

$2 \cdot (\frac{x^2}{2} - 7x + 1) > 2 \cdot 0$

$\frac{2 \cdot x^2}{2} - 2 \cdot 7x + 2 \cdot 1 > 0$

$x^2 - 14x + 2 > 0$

Данное неравенство имеет вид $ax^2 + bx + c > 0$ с целыми коэффициентами $a=1$, $b=-14$, $c=2$. Коэффициент при $x^2$ равен 1, свободный член равен 2.

Ответ: $x^2 - 14x + 2 > 0$; коэффициент при $x^2$ равен 1, свободный член равен 2.

73. Вычислите дискриминант неравенства:

а) $x^2 - 7x + 10 > 0;$

б) $x^2 + 9x + 20 < 0;$

в) $x^2 - x - 7 < 0;$

г) $x^2 + x - 5 > 0.$

Чтобы вычислить дискриминант неравенства, необходимо рассмотреть соответствующее ему квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ и вычислить его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

а) Для неравенства $x^2 - 7x + 10 > 0$ соответствующим квадратным уравнением будет $x^2 - 7x + 10 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = -7$, $c = 10$.
Вычисляем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
Ответ: 9.

б) Для неравенства $x^2 + 9x + 20 < 0$ соответствующим квадратным уравнением будет $x^2 + 9x + 20 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = 9$, $c = 20$.
Вычисляем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$.
Ответ: 1.

в) Для неравенства $x^2 - x - 7 < 0$ соответствующим квадратным уравнением будет $x^2 - x - 7 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = -1$, $c = -7$.
Вычисляем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 - (-28) = 1 + 28 = 29$.
Ответ: 29.

г) Для неравенства $x^2 + x - 5 > 0$ соответствующим квадратным уравнением будет $x^2 + x - 5 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = 1$, $c = -5$.
Вычисляем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 - (-20) = 1 + 20 = 21$.
Ответ: 21.

Является ли число, указанное в скобках, решением неравенства (74–75):

74. а) $x^2 - 3x + 4 > 0 \left(\frac{1}{3}\right);$

б) $x^2 - 2x + 3 < 0 \left(\frac{1}{2}\right);$

в) $2x^2 - 5x - 1 < 0 (-2);$

г) $3x^2 - 3x + 1 > 0 (-3);$

д) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{5}x + \frac{1}{7} < 0 (15);$

е) $\frac{x^2}{4} + x - \frac{1}{7} < 0 (12)?$

Для того чтобы определить, является ли указанное число решением неравенства, необходимо подставить это число вместо переменной в неравенство и проверить, получается ли в результате верное числовое неравенство.

а) Проверяем число $\frac{1}{3}$ для неравенства $x^2 - 3x + 4 > 0$.

Подставляем $x = \frac{1}{3}$:

$(\frac{1}{3})^2 - 3 \cdot (\frac{1}{3}) + 4 = \frac{1}{9} - 1 + 4 = 3 + \frac{1}{9} = 3\frac{1}{9}$.

Получаем неравенство $3\frac{1}{9} > 0$.

Это верное неравенство, следовательно, число является решением.

Ответ: да.

б) Проверяем число $\frac{1}{2}$ для неравенства $x^2 - 2x + 3 < 0$.

Подставляем $x = \frac{1}{2}$:

$(\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}) + 3 = \frac{1}{4} - 1 + 3 = 2 + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}$.

Получаем неравенство $2\frac{1}{4} < 0$.

Это неверное неравенство, следовательно, число не является решением.

Ответ: нет.

в) Проверяем число $-2$ для неравенства $2x^2 - 5x - 1 < 0$.

Подставляем $x = -2$:

$2(-2)^2 - 5(-2) - 1 = 2 \cdot 4 + 10 - 1 = 8 + 10 - 1 = 17$.

Получаем неравенство $17 < 0$.

Это неверное неравенство, следовательно, число не является решением.

Ответ: нет.

г) Проверяем число $-3$ для неравенства $3x^2 - 3x + 1 > 0$.

Подставляем $x = -3$:

$3(-3)^2 - 3(-3) + 1 = 3 \cdot 9 + 9 + 1 = 27 + 9 + 1 = 37$.

Получаем неравенство $37 > 0$.

Это верное неравенство, следовательно, число является решением.

Ответ: да.

д) Проверяем число $15$ для неравенства $\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{5}x + \frac{1}{7} < 0$.

Подставляем $x = 15$:

$\frac{1}{3}(15)^2 - \frac{1}{5}(15) + \frac{1}{7} = \frac{1}{3} \cdot 225 - 3 + \frac{1}{7} = 75 - 3 + \frac{1}{7} = 72\frac{1}{7}$.

Получаем неравенство $72\frac{1}{7} < 0$.

Это неверное неравенство, следовательно, число не является решением.

Ответ: нет.

е) Проверяем число $12$ для неравенства $\frac{x^2}{4} + x - \frac{1}{7} < 0$.

Подставляем $x = 12$:

$\frac{12^2}{4} + 12 - \frac{1}{7} = \frac{144}{4} + 12 - \frac{1}{7} = 36 + 12 - \frac{1}{7} = 48 - \frac{1}{7} = 47\frac{6}{7}$.

Получаем неравенство $47\frac{6}{7} < 0$.

Это неверное неравенство, следовательно, число не является решением.

Ответ: нет.

75. a) $x^2 - 11,7x + 17 < 0 (\sqrt{3})$;

б) $x^2 - 11,4x + 14 > 0 (\sqrt{2})$;

в) $x^2 + x - 12 > 0 (\pi)$;

г) $x^2 - 2x - 15 < 0 (-\pi)$?

а)

Чтобы проверить, является ли число $\sqrt{3}$ решением неравенства $x^2 - 11,7x + 17 < 0$, подставим $x = \sqrt{3}$ в левую часть неравенства:

$(\sqrt{3})^2 - 11,7 \cdot \sqrt{3} + 17 = 3 - 11,7\sqrt{3} + 17 = 20 - 11,7\sqrt{3}$.

Теперь необходимо определить знак полученного выражения. Для этого сравним числа $20$ и $11,7\sqrt{3}$. Поскольку оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:

$20^2 = 400$

$(11,7\sqrt{3})^2 = 11,7^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 136,89 \cdot 3 = 410,67$.

Так как $400 < 410,67$, то и $20 < 11,7\sqrt{3}$. Отсюда следует, что разность $20 - 11,7\sqrt{3}$ отрицательна.

Таким образом, неравенство $20 - 11,7\sqrt{3} < 0$ является верным. Это означает, что число $\sqrt{3}$ является решением исходного неравенства.

Ответ: Да, является.

б)

Чтобы проверить, является ли число $\sqrt{2}$ решением неравенства $x^2 - 11,4x + 14 > 0$, подставим $x = \sqrt{2}$ в левую часть:

$(\sqrt{2})^2 - 11,4 \cdot \sqrt{2} + 14 = 2 - 11,4\sqrt{2} + 14 = 16 - 11,4\sqrt{2}$.

Определим знак этого выражения, сравнив числа $16$ и $11,4\sqrt{2}$. Сравним их квадраты:

$16^2 = 256$

$(11,4\sqrt{2})^2 = 11,4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 129,96 \cdot 2 = 259,92$.

Поскольку $256 < 259,92$, то $16 < 11,4\sqrt{2}$. Следовательно, разность $16 - 11,4\sqrt{2}$ отрицательна.

Таким образом, неравенство $16 - 11,4\sqrt{2} > 0$ является неверным. Значит, число $\sqrt{2}$ не является решением исходного неравенства.

Ответ: Нет, не является.

в)

Чтобы проверить, является ли число $\pi$ решением неравенства $x^2 + x - 12 > 0$, решим это неравенство.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

Неравенство можно записать в виде $(x+4)(x-3) > 0$. Графиком функции $y = x^2 + x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$.

Теперь определим, принадлежит ли число $\pi$ этому множеству. Приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.

Так как $3,14159 > 3$, число $\pi$ входит в интервал $(3; +\infty)$ и, следовательно, является решением данного неравенства.

Ответ: Да, является.

г)

Проверим, является ли число $-\pi$ решением неравенства $x^2 - 2x - 15 < 0$. Для этого решим данное неравенство.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$.

Неравенство можно представить в виде $(x+3)(x-5) < 0$. Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 15$ направлены вверх, поэтому значения функции отрицательны при $x$, находящихся между корнями.

Решением неравенства является интервал $x \in (-3; 5)$.

Теперь проверим, принадлежит ли число $-\pi$ этому интервалу. Мы знаем, что $\pi \approx 3,14159$, значит $-\pi \approx -3,14159$.

Поскольку $-3,14159 < -3$, число $-\pi$ не принадлежит интервалу $(-3; 5)$. Следовательно, $-\pi$ не является решением данного неравенства.

Ответ: Нет, не является.

76. Напишите неравенство с положительным коэффициентом при $x^2$, равносильное неравенству:

а) $-x^2 + 5x + 7 > 0;$

б) $-2x^2 - 4x + 8 < 0;$

в) $-\frac{1}{3}x^2 + 9 > 0;$

г) $-\frac{3}{5}x^2 - 5 < 0.$

а) В исходном неравенстве $-x^2 + 5x + 7 > 0$ коэффициент при $x^2$ отрицателен. Чтобы получить равносильное неравенство с положительным коэффициентом при $x^2$, необходимо умножить обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с `>` на `<`). Это преобразование выглядит так: $(-1) \cdot (-x^2 + 5x + 7) < 0 \cdot (-1)$, что приводит к неравенству $x^2 - 5x - 7 < 0$. Коэффициент при $x^2$ теперь равен $1$, что является положительным числом.
Ответ: $x^2 - 5x - 7 < 0$

б) В неравенстве $-2x^2 - 4x + 8 < 0$ коэффициент при $x^2$ равен $-2$, то есть он отрицательный. Для преобразования разделим все члены неравенства на $-2$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с `<` на `>`). Преобразование: $\frac{-2x^2 - 4x + 8}{-2} > \frac{0}{-2}$, что дает в результате равносильное неравенство $x^2 + 2x - 4 > 0$. Коэффициент при $x^2$ теперь равен $1$, что является положительным числом.
Ответ: $x^2 + 2x - 4 > 0$

в) В неравенстве $-\frac{1}{3}x^2 + 9 > 0$ коэффициент при $x^2$ отрицательный. Умножим обе части неравенства на $-3$, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным и избавиться от дроби. При умножении на отрицательное число знак неравенства изменится на противоположный (с `>` на `<`): $(-3) \cdot (-\frac{1}{3}x^2 + 9) < 0 \cdot (-3)$. В результате получаем равносильное неравенство $x^2 - 27 < 0$. Коэффициент при $x^2$ теперь равен $1$, что является положительным числом.
Ответ: $x^2 - 27 < 0$

г) В неравенстве $-\frac{3}{5}x^2 - 5 < 0$ коэффициент при $x^2$ отрицательный. Чтобы сделать его положительным и избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на $-5$. Знак неравенства при этом изменится на противоположный (с `<` на `>`). Преобразование: $(-5) \cdot (-\frac{3}{5}x^2 - 5) > 0 \cdot (-5)$, что приводит к равносильному неравенству $3x^2 + 25 > 0$. Коэффициент при $x^2$ теперь равен $3$, что является положительным числом.
Ответ: $3x^2 + 25 > 0$