Номер 72, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

72. Приведите неравенство:

а) $4x + 2x^2 - 1 > 0;$

б) $6 + x^2 < 0;$

в) $\frac{x^2}{3} - x + 0,2 < 0;$

г) $1 - 7x + \frac{x^2}{2} > 0$

к виду $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c < 0$, где $a, b, c$ — целые числа. Назовите коэффициент при $x^2$ и свободный член.

а) $4x + 2x^2 - 1 > 0$

Чтобы привести неравенство к стандартному виду $ax^2 + bx + c > 0$, необходимо расположить слагаемые в левой части в порядке убывания степеней переменной $x$.

Выполняем перестановку слагаемых:

$2x^2 + 4x - 1 > 0$

В этом неравенстве коэффициенты $a=2$, $b=4$, $c=-1$ являются целыми числами. Коэффициент при $x^2$ — это $a$, а свободный член — это $c$.

Коэффициент при $x^2$ равен 2, свободный член равен -1.

Ответ: $2x^2 + 4x - 1 > 0$; коэффициент при $x^2$ равен 2, свободный член равен -1.

б) $6 + x^2 < 0$

Переставим слагаемые, чтобы привести неравенство к стандартному виду $ax^2 + bx + c < 0$. В данном неравенстве член, содержащий $x$ в первой степени, отсутствует. Это означает, что коэффициент $b$ при нем равен нулю.

Получаем неравенство:

$x^2 + 6 < 0$

Его можно записать в полной форме как $1x^2 + 0x + 6 < 0$. Коэффициенты $a=1$, $b=0$, $c=6$ — целые. Коэффициент при $x^2$ равен 1, свободный член равен 6.

Ответ: $x^2 + 6 < 0$; коэффициент при $x^2$ равен 1, свободный член равен 6.

в) $\frac{x^2}{3} - x + 0,2 < 0$

Для того чтобы все коэффициенты стали целыми, сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Неравенство примет вид:

$\frac{x^2}{3} - x + \frac{1}{5} < 0$

Теперь умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, которое равно 15. Так как 15 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$15 \cdot (\frac{x^2}{3} - x + \frac{1}{5}) < 15 \cdot 0$

$\frac{15 \cdot x^2}{3} - 15 \cdot x + \frac{15 \cdot 1}{5} < 0$

$5x^2 - 15x + 3 < 0$

Полученное неравенство имеет вид $ax^2 + bx + c < 0$ с целыми коэффициентами $a=5$, $b=-15$, $c=3$. Коэффициент при $x^2$ равен 5, свободный член равен 3.

Ответ: $5x^2 - 15x + 3 < 0$; коэффициент при $x^2$ равен 5, свободный член равен 3.

г) $1 - 7x + \frac{x^2}{2} > 0$

Сначала расположим слагаемые в стандартном порядке — по убыванию степеней $x$.

$\frac{x^2}{2} - 7x + 1 > 0$

Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части неравенства на знаменатель дроби, то есть на 2. Поскольку 2 > 0, знак неравенства остается прежним.

$2 \cdot (\frac{x^2}{2} - 7x + 1) > 2 \cdot 0$

$\frac{2 \cdot x^2}{2} - 2 \cdot 7x + 2 \cdot 1 > 0$

$x^2 - 14x + 2 > 0$

Данное неравенство имеет вид $ax^2 + bx + c > 0$ с целыми коэффициентами $a=1$, $b=-14$, $c=2$. Коэффициент при $x^2$ равен 1, свободный член равен 2.

Ответ: $x^2 - 14x + 2 > 0$; коэффициент при $x^2$ равен 1, свободный член равен 2.