Страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

88. a) $0,5x^2 - x < 0;$

б) $1,3x^2 - 2x < 0;$

в) $3\frac{1}{2}x - x^2 > 0;$

г) $\frac{7}{8}x^2 - 1\frac{3}{5}x > 0.$

а) Для решения неравенства $0,5x^2 - x < 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $0,5x^2 - x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(0,5x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$0,5x - 1 = 0 \Rightarrow 0,5x = 1 \Rightarrow x_2 = 2$
Теперь рассмотрим параболу $y = 0,5x^2 - x$. Коэффициент при $x^2$ равен $0,5$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=2$. Значения функции будут отрицательными на интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства $0,5x^2 - x < 0$ — это интервал $(0, 2)$.
Ответ: $x \in (0, 2)$.

б) Решим неравенство $1,3x^2 - 2x < 0$.
Найдем корни уравнения $1,3x^2 - 2x = 0$:
$x(1,3x - 2) = 0$
Корни уравнения:
$x_1 = 0$
$1,3x - 2 = 0 \Rightarrow 1,3x = 2 \Rightarrow x_2 = \frac{2}{1,3} = \frac{20}{13}$
Парабола $y = 1,3x^2 - 2x$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент $1,3 > 0$. Она пересекает ось $x$ в точках $0$ и $\frac{20}{13}$. Неравенство $1,3x^2 - 2x < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (0, \frac{20}{13})$.

в) Решим неравенство $3\frac{1}{2}x - x^2 > 0$.
Перепишем неравенство в более удобном виде: $-x^2 + \frac{7}{2}x > 0$.
Найдем корни уравнения $-x^2 + \frac{7}{2}x = 0$:
$x(-x + \frac{7}{2}) = 0$
Корни уравнения:
$x_1 = 0$
$-x + \frac{7}{2} = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{7}{2}$
Парабола $y = -x^2 + \frac{7}{2}x$ имеет ветви, направленные вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный). Она пересекает ось $x$ в точках $0$ и $\frac{7}{2}$. Значения функции положительны на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (0, \frac{7}{2})$.

г) Решим неравенство $\frac{7}{8}x^2 - 1\frac{3}{5}x > 0$.
Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.
Неравенство принимает вид: $\frac{7}{8}x^2 - \frac{8}{5}x > 0$.
Найдем корни уравнения $\frac{7}{8}x^2 - \frac{8}{5}x = 0$:
$x(\frac{7}{8}x - \frac{8}{5}) = 0$
Корни уравнения:
$x_1 = 0$
$\frac{7}{8}x - \frac{8}{5} = 0 \Rightarrow \frac{7}{8}x = \frac{8}{5} \Rightarrow x_2 = \frac{8}{5} \div \frac{7}{8} = \frac{8}{5} \cdot \frac{8}{7} = \frac{64}{35}$
Парабола $y = \frac{7}{8}x^2 - \frac{8}{5}x$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент $\frac{7}{8} > 0$). Она пересекает ось $x$ в точках $0$ и $\frac{64}{35}$. Значения функции положительны на интервалах вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $(-\infty, 0)$ и $(\frac{64}{35}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{64}{35}, +\infty)$.

89. a) $2x^2 - 3 < 0;$

б) $7x^2 - 1 > 0;$

в) $5 - 0,2x^2 > 0;$

г) $1,2 - 3x^2 < 0.$

а) $2x^2 - 3 < 0$
Для решения данного неполного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 3 = 0$.
$2x^2 = 3$
$x^2 = \frac{3}{2}$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$.
Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 3$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Значения функции будут отрицательными ($y < 0$) на интервале, расположенном между корнями параболы.
Таким образом, решением неравенства является интервал $x \in (-\frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2})$

б) $7x^2 - 1 > 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $7x^2 - 1 = 0$.
$7x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{7}$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{7}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{7}$.
Графиком функции $y = 7x^2 - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент $a=7 > 0$). Значения функции будут положительными ($y > 0$) на промежутках, находящихся вне корней.
Следовательно, решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{7}}{7}) \cup (\frac{\sqrt{7}}{7}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -\frac{\sqrt{7}}{7}) \cup (\frac{\sqrt{7}}{7}; +\infty)$

в) $5 - 0,2x^2 > 0$
Найдем корни уравнения $5 - 0,2x^2 = 0$.
$5 = 0,2x^2$
$x^2 = \frac{5}{0,2} = \frac{5}{1/5} = 25$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{25} = \pm 5$.
График функции $y = 5 - 0,2x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-0,2 < 0$). Значения функции будут положительными ($y > 0$) на интервале между корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал $x \in (-5; 5)$.
Ответ: $(-5; 5)$

г) $1,2 - 3x^2 < 0$
Найдем корни уравнения $1,2 - 3x^2 = 0$.
$1,2 = 3x^2$
$x^2 = \frac{1,2}{3} = 0,4$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{0,4} = \pm\sqrt{\frac{4}{10}} = \pm\sqrt{\frac{2}{5}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{5}$.
График функции $y = 1,2 - 3x^2$ — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент $a=-3 < 0$). Значения функции будут отрицательными ($y < 0$) на промежутках за пределами корней.
Следовательно, решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty; -\sqrt{0,4}) \cup (\sqrt{0,4}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -\sqrt{0,4}) \cup (\sqrt{0,4}; +\infty)$

90. Решите неравенство, используя график квадратичной функции:

а) $x^2 - 3x + 2 > 0$;

б) $x^2 + 4x + 3 < 0$;

в) $x^2 + 5x + 6 < 0$;

г) $x^2 - 5x + 4 > 0$;

д) $3x^2 - 2x - 5 < 0$;

е) $4x^2 - x - 3 < 0$;

ж) $7x^2 + 2x - 5 > 0$;

з) $10x^2 + 3x - 1 > 0$.

а) $x^2 - 3x + 2 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 3x + 2$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля ($a=1>0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем нули функции, то есть точки пересечения графика с осью Ox. Для этого решим уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает положительные значения ($y > 0$) на промежутках, где график находится выше оси Ox, то есть при $x < 1$ и $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

б) $x^2 + 4x + 3 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 4x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 4x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = -3$; $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = -1$.
Парабола пересекает ось Ox в точках -3 и -1. Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) на промежутке между корнями.

Ответ: $x \in (-3; -1)$.

в) $x^2 + 5x + 6 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 5x + 6$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции: $x^2 + 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.
Парабола пересекает ось Ox в точках -3 и -2. Неравенство $y < 0$ выполняется, когда график находится ниже оси Ox, то есть между точками пересечения.

Ответ: $x \in (-3; -2)$.

г) $x^2 - 5x + 4 > 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 5x + 4$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции: $x^2 - 5x + 4 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 4. Неравенство $y > 0$ выполняется, когда график находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

д) $3x^2 - 2x - 5 < 0$

Рассмотрим функцию $y = 3x^2 - 2x - 5$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=3>0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $3x^2 - 2x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$; $x_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Парабола пересекает ось Ox в точках -1 и $5/3$. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-1; \frac{5}{3})$.

е) $4x^2 - x - 3 < 0$

Рассмотрим функцию $y = 4x^2 - x - 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=4>0$).

Найдем нули функции: $4x^2 - x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$; $x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $-3/4$ и 1. Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) между этими точками.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{4}; 1)$.

ж) $7x^2 + 2x - 5 > 0$

Рассмотрим функцию $y = 7x^2 + 2x - 5$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=7>0$).

Найдем нули функции: $7x^2 + 2x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 4 + 140 = 144$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$; $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.
Парабола пересекает ось Ox в точках -1 и $5/7$. Функция принимает положительные значения ($y > 0$) вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{7}; +\infty)$.

з) $10x^2 + 3x - 1 > 0$

Рассмотрим функцию $y = 10x^2 + 3x - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=10>0$).

Найдем нули функции: $10x^2 + 3x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $-1/2$ и $1/5$. Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда график находится выше оси Ox, то есть левее точки $-1/2$ и правее точки $1/5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{5}; +\infty)$.

91. Решите неравенство:

а) $0,25x^2 - 4x + 12 > 0;$

б) $0,5x^2 + 8x + 24 < 0;$

в) $3 - x + \frac{1}{16}x^2 < 0;$

г) $4x + \frac{1}{4}x^2 + 12 > 0;$

д) $5x^2 - x - 7 < 0;$

е) $8x^2 - 3 - 2x > 0;$

ж) $2x^2 + 5 - 17x > 0;$

з) $15x + 3 + 4x^2 < 0.$

а) $0,25x^2 - 4x + 12 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала решим соответствующее квадратное уравнение $0,25x^2 - 4x + 12 = 0$. Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 4:

$x^2 - 16x + 48 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{16 - \sqrt{64}}{2} = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{16 + \sqrt{64}}{2} = \frac{16 + 8}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Мы нашли точки, в которых парабола $y = 0,25x^2 - 4x + 12$ пересекает ось Ox. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 0,25 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Неравенство $0,25x^2 - 4x + 12 > 0$ выполняется там, где график параболы находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (12; +\infty)$

б) $0,5x^2 + 8x + 24 < 0$

Решим уравнение $0,5x^2 + 8x + 24 = 0$. Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 + 16x + 48 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-16 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-16 - 8}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

$x_2 = \frac{-16 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-16 + 8}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ветви параболы $y = 0,5x^2 + 8x + 24$ направлены вверх ($a = 0,5 > 0$). Неравенство имеет вид $< 0$, значит, нам нужен интервал, где парабола находится ниже оси Ox. Это происходит между корнями.

Ответ: $x \in (-12; -4)$

в) $3 - x + \frac{1}{16}x^2 < 0$

Перепишем неравенство в стандартном виде: $\frac{1}{16}x^2 - x + 3 < 0$.

Решим уравнение $\frac{1}{16}x^2 - x + 3 = 0$. Умножим на 16:

$x^2 - 16x + 48 = 0$

Это уравнение мы уже решали в пункте а). Его корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 12$.

Ветви параболы $y = \frac{1}{16}x^2 - x + 3$ направлены вверх ($a = \frac{1}{16} > 0$). Неравенство имеет вид $< 0$, поэтому ищем интервал, где парабола ниже оси Ox, то есть между корнями.

Ответ: $x \in (4; 12)$

г) $4x + \frac{1}{4}x^2 + 12 > 0$

Перепишем неравенство: $\frac{1}{4}x^2 + 4x + 12 > 0$.

Решим уравнение $\frac{1}{4}x^2 + 4x + 12 = 0$. Умножим на 4:

$x^2 + 16x + 48 = 0$

Это уравнение мы решали в пункте б). Корни: $x_1 = -12$ и $x_2 = -4$.

Ветви параболы $y = \frac{1}{4}x^2 + 4x + 12$ направлены вверх ($a = \frac{1}{4} > 0$). Неравенство имеет вид $> 0$, значит, решение находится там, где парабола выше оси Ox, то есть за пределами корней.

Ответ: $x \in (-\infty; -12) \cup (-4; +\infty)$

д) $5x^2 - x - 7 < 0$

Решим уравнение $5x^2 - x - 7 = 0$.

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 1 + 140 = 141$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{141}}{10}$

$x_2 = \frac{1 + \sqrt{141}}{10}$

Ветви параболы $y = 5x^2 - x - 7$ направлены вверх ($a = 5 > 0$). Неравенство имеет вид $< 0$, поэтому решение находится между корнями.

Ответ: $x \in (\frac{1 - \sqrt{141}}{10}; \frac{1 + \sqrt{141}}{10})$

е) $8x^2 - 3 - 2x > 0$

Перепишем неравенство: $8x^2 - 2x - 3 > 0$.

Решим уравнение $8x^2 - 2x - 3 = 0$.

Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{2 - 10}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{2 + 10}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

Ветви параболы $y = 8x^2 - 2x - 3$ направлены вверх ($a = 8 > 0$). Неравенство имеет вид $> 0$, поэтому решение находится за пределами корней.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{4}; +\infty)$

ж) $2x^2 + 5 - 17x > 0$

Перепишем неравенство: $2x^2 - 17x + 5 > 0$.

Решим уравнение $2x^2 - 17x + 5 = 0$.

Дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 289 - 40 = 249$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{17 - \sqrt{249}}{4}$

$x_2 = \frac{17 + \sqrt{249}}{4}$

Ветви параболы $y = 2x^2 - 17x + 5$ направлены вверх ($a = 2 > 0$). Неравенство имеет вид $> 0$, поэтому решение находится за пределами корней.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{17 - \sqrt{249}}{4}) \cup (\frac{17 + \sqrt{249}}{4}; +\infty)$

з) $15x + 3 + 4x^2 < 0$

Перепишем неравенство: $4x^2 + 15x + 3 < 0$.

Решим уравнение $4x^2 + 15x + 3 = 0$.

Дискриминант: $D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 225 - 48 = 177$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-15 - \sqrt{177}}{8}$

$x_2 = \frac{-15 + \sqrt{177}}{8}$

Ветви параболы $y = 4x^2 + 15x + 3$ направлены вверх ($a = 4 > 0$). Неравенство имеет вид $< 0$, поэтому решение находится между корнями.

Ответ: $x \in (\frac{-15 - \sqrt{177}}{8}; \frac{-15 + \sqrt{177}}{8})$

92. При каких значениях $x$ точки графика квадратичной функции:

а) $y = x^2 - 6x + 8;$

б) $y = x^2 - 2x - 8;$

в) $y = -x^2 + 2x + 3;$

г) $y = -x^2 + x + 12$

расположены выше оси $Ox$? ниже оси $Ox$?

Чтобы определить, при каких значениях x точки графика функции расположены выше оси Ox (то есть $y > 0$) или ниже оси Ox (то есть $y < 0$), необходимо для каждой функции найти её нули (точки пересечения с осью Ox) и определить направление ветвей параболы.

1. Найдем нули функции, решив квадратное уравнение $x^2 - 6x + 8 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 8. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Либо через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2$, $x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$.

2. Коэффициент при $x^2$ равен 1, он положительный, значит, ветви параболы направлены вверх.

3. График функции находится выше оси Ox ($y > 0$) на промежутках левее и правее корней. График находится ниже оси Ox ($y < 0$) между корнями.

Таким образом:

• Выше оси Ox: $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$.
• Ниже оси Ox: $x \in (2; 4)$.

Ответ: Выше оси Ox при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$; ниже оси Ox при $x \in (2; 4)$.

1. Найдем нули функции: $x^2 - 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней 2, произведение -8. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$.

Через дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2$, $x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4$.

2. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви параболы направлены вверх.

3. График функции выше оси Ox ($y > 0$) вне интервала между корнями, и ниже оси Ox ($y < 0$) на интервале между корнями.

• Выше оси Ox: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$.
• Ниже оси Ox: $x \in (-2; 4)$.

Ответ: Выше оси Ox при $x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$; ниже оси Ox при $x \in (-2; 4)$.

1. Найдем нули функции: $-x^2 + 2x + 3 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней 2, произведение -3. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

Через дискриминант для $-x^2 + 2x + 3 = 0$:

$D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3 = 4 + 12 = 16$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2 \pm 4}{-2}$

$x_1 = \frac{-2 - 4}{-2} = 3$, $x_2 = \frac{-2 + 4}{-2} = -1$.

2. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

3. График функции находится выше оси Ox ($y > 0$) на интервале между корнями, и ниже оси Ox ($y < 0$) вне интервала между корнями.

• Выше оси Ox: $x \in (-1; 3)$.
• Ниже оси Ox: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: Выше оси Ox при $x \in (-1; 3)$; ниже оси Ox при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

1. Найдем нули функции: $-x^2 + x + 12 = 0$. Умножим на -1: $x^2 - x - 12 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней 1, произведение -12. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$.

Через дискриминант для $-x^2 + x + 12 = 0$:

$D = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 12 = 1 + 48 = 49$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-1 \pm 7}{-2}$

$x_1 = \frac{-1 - 7}{-2} = 4$, $x_2 = \frac{-1 + 7}{-2} = -3$.

2. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

3. График функции находится выше оси Ox ($y > 0$) между корнями, и ниже оси Ox ($y < 0$) вне интервала между корнями.

• Выше оси Ox: $x \in (-3; 4)$.
• Ниже оси Ox: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: Выше оси Ox при $x \in (-3; 4)$; ниже оси Ox при $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.

93. Укажите все значения $x$, при каждом из которых квадратичная функция:

а) $y = x^2 + 1,5x - 1;$

б) $y = x^2 - 3,5x + 2;$

в) $y = 4x^2 + 19x - 5;$

г) $y = 3x^2 - 5x - 2;$

д) $y = -2x^2 + 5x + 3;$

е) $y = -3x^2 - 8x + 9$

принимает положительные значения; отрицательные значения.

Для нахождения всех значений $x$, при которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения, необходимо решить соответствующие квадратные неравенства. Общий план решения для каждой функции $y = ax^2 + bx + c$:

1. Найти корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Эти корни являются точками пересечения графика функции с осью абсцисс.
2. Определить направление ветвей параболы по знаку старшего коэффициента $a$. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
3. На основе корней и направления ветвей определить промежутки, на которых функция положительна ($y > 0$) и отрицательна ($y < 0$).

1. Найдем корни уравнения $x^2 + 1,5x - 1 = 0$. Для удобства умножим уравнение на 2: $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$, $x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = 0,5$.

2. Старший коэффициент $a = 1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

3. Следовательно, функция положительна ($y > 0$) при значениях $x$ вне интервала между корнями и отрицательна ($y < 0$) между корнями.

Положительные значения: $x \in (-\infty; -2) \cup (0,5; +\infty)$.

Отрицательные значения: $x \in (-2; 0,5)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -2) \cup (0,5; +\infty)$; отрицательные значения при $x \in (-2; 0,5)$.

1. Найдем корни уравнения $x^2 - 3,5x + 2 = 0$. Умножим на 2: $2x^2 - 7x + 4 = 0$.

Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 - 32 = 17$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{4}$.

$x_1 = \frac{7 - \sqrt{17}}{4}$, $x_2 = \frac{7 + \sqrt{17}}{4}$.

2. Старший коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Функция положительна вне интервала между корнями, отрицательна — между корнями.

Положительные значения: $x \in (-\infty; \frac{7 - \sqrt{17}}{4}) \cup (\frac{7 + \sqrt{17}}{4}; +\infty)$.

Отрицательные значения: $x \in (\frac{7 - \sqrt{17}}{4}; \frac{7 + \sqrt{17}}{4})$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; \frac{7 - \sqrt{17}}{4}) \cup (\frac{7 + \sqrt{17}}{4}; +\infty)$; отрицательные значения при $x \in (\frac{7 - \sqrt{17}}{4}; \frac{7 + \sqrt{17}}{4})$.

1. Найдем корни уравнения $4x^2 + 19x - 5 = 0$.

Дискриминант: $D = 19^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361 + 80 = 441 = 21^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-19 \pm 21}{2 \cdot 4} = \frac{-19 \pm 21}{8}$.

$x_1 = \frac{-19 - 21}{8} = -5$, $x_2 = \frac{-19 + 21}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ или $0,25$.

2. Старший коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Функция положительна вне интервала между корнями, отрицательна — между корнями.

Положительные значения: $x \in (-\infty; -5) \cup (0,25; +\infty)$.

Отрицательные значения: $x \in (-5; 0,25)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -5) \cup (0,25; +\infty)$; отрицательные значения при $x \in (-5; 0,25)$.

1. Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}$.

$x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

2. Старший коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Функция положительна вне интервала между корнями, отрицательна — между корнями.

Положительные значения: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (2; +\infty)$.

Отрицательные значения: $x \in (-\frac{1}{3}; 2)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (2; +\infty)$; отрицательные значения при $x \in (-\frac{1}{3}; 2)$.

1. Найдем корни уравнения $-2x^2 + 5x + 3 = 0$. Умножим на -1: $2x^2 - 5x - 3 = 0$.

Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$.

$x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5$, $x_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

2. Старший коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Следовательно, функция положительна ($y > 0$) между корнями и отрицательна ($y < 0$) вне интервала между корнями.

Положительные значения: $x \in (-0,5; 3)$.

Отрицательные значения: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-0,5; 3)$; отрицательные значения при $x \in (-\infty; -0,5) \cup (3; +\infty)$.

1. Найдем корни уравнения $-3x^2 - 8x + 9 = 0$. Умножим на -1: $3x^2 + 8x - 9 = 0$.

Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 64 + 108 = 172$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm \sqrt{4 \cdot 43}}{6} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{43}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{43}}{3}$.

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{43}}{3}$, $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{43}}{3}$.

2. Старший коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Функция положительна между корнями, отрицательна — вне интервала между корнями.

Положительные значения: $x \in (\frac{-4 - \sqrt{43}}{3}; \frac{-4 + \sqrt{43}}{3})$.

Отрицательные значения: $x \in (-\infty; \frac{-4 - \sqrt{43}}{3}) \cup (\frac{-4 + \sqrt{43}}{3}; +\infty)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (\frac{-4 - \sqrt{43}}{3}; \frac{-4 + \sqrt{43}}{3})$; отрицательные значения при $x \in (-\infty; \frac{-4 - \sqrt{43}}{3}) \cup (\frac{-4 + \sqrt{43}}{3}; +\infty)$.

94. Исследуем. Найдите значение $k$, при котором неравенство:

а) $x^2 - 3x + k < 0$ верно только для $x \in (1; 2);

б) $-x^2 + x + k > 0$ верно только для $x \in (-2; 3).

а)

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 3x + k$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Неравенство $x^2 - 3x + k < 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс. Для параболы с ветвями вверх это интервал между ее корнями.

По условию задачи, решением неравенства является интервал $x \in (1; 2)$. Это означает, что числа 1 и 2 являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 3x + k = 0$.

Чтобы найти значение $k$, мы можем подставить один из корней в уравнение. Подставим $x=1$:

$1^2 - 3 \cdot 1 + k = 0$

$1 - 3 + k = 0$

$-2 + k = 0$

$k = 2$

Для проверки можно подставить второй корень $x=2$: $2^2 - 3 \cdot 2 + k = 0$, что дает $4 - 6 + k = 0$, и снова получаем $k=2$.

Другой способ — использовать теорему Виета. Для уравнения $x^2 - 3x + k = 0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену $k$. Так как корни равны 1 и 2, получаем: $k = 1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: $k=2$.

б)

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + x + k$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число).

Неравенство $-x^2 + x + k > 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых парабола находится выше оси абсцисс. Для параболы с ветвями вниз это интервал между ее корнями.

По условию задачи, решением неравенства является интервал $x \in (-2; 3)$. Это означает, что числа -2 и 3 являются корнями квадратного уравнения $-x^2 + x + k = 0$.

Чтобы найти значение $k$, подставим один из корней в уравнение. Подставим $x=3$:

$-(3)^2 + 3 + k = 0$

$-9 + 3 + k = 0$

$-6 + k = 0$

$k = 6$

Для проверки можно подставить второй корень $x=-2$: $-(-2)^2 + (-2) + k = 0$, что дает $-4 - 2 + k = 0$, и снова получаем $k=6$.

Другой способ — использовать теорему Виета. Умножим уравнение $-x^2 + x + k = 0$ на -1, чтобы получить приведенное уравнение: $x^2 - x - k = 0$. Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену $-k$. Так как корни равны -2 и 3, получаем: $-k = (-2) \cdot 3 = -6$, откуда $k=6$.

Ответ: $k=6$.