Страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

102. Решите неравенство, используя график квадратичной функции:

а) $x^2 - 2x + 1 > 0$;

б) $x^2 + 6x + 9 < 0$;

в) $x^2 + 4x + 4 < 0$;

г) $4x^2 - 4x + 1 > 0$.

Для решения каждого неравенства используется график соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Положение графика (параболы) относительно оси абсцисс (Ox) позволяет определить знаки функции.

а) $x^2 - 2x + 1 > 0$

Рассмотрим график функции $y = x^2 - 2x + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Выражение в левой части неравенства является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Следовательно, функция имеет вид $y = (x - 1)^2$. График этой функции касается оси Ox в точке, где $(x - 1)^2 = 0$, то есть при $x=1$. Эта точка $(1; 0)$ является вершиной параболы. Поскольку ветви параболы направлены вверх, а её вершина находится на оси Ox, все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$). Неравенство $x^2 - 2x + 1 > 0$ требует найти все значения $x$, при которых $y$ строго больше нуля. Это выполняется для всех $x$, кроме точки касания $x=1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

б) $x^2 + 6x + 9 < 0$

Рассмотрим график функции $y = x^2 + 6x + 9$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Выражение в левой части можно представить в виде полного квадрата: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. Функция имеет вид $y = (x + 3)^2$. Вершина параболы касается оси Ox в точке, где $(x + 3)^2 = 0$, то есть при $x=-3$. Так как парабола имеет минимальное значение $y=0$ в своей вершине и её ветви направлены вверх, функция никогда не принимает отрицательных значений. Следовательно, неравенство $x^2 + 6x + 9 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

в) $x^2 + 4x + 4 < 0$

Рассмотрим график функции $y = x^2 + 4x + 4$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Левая часть является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$. Функция имеет вид $y = (x + 2)^2$. Вершина параболы находится в точке $x=-2$, где она касается оси Ox. Минимальное значение функции равно нулю. Отрицательных значений функция не принимает. Таким образом, неравенство $x^2 + 4x + 4 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

г) $4x^2 - 4x + 1 > 0$

Рассмотрим график функции $y = 4x^2 - 4x + 1$. Ветви параболы направлены вверх ($a=4>0$). Левая часть является полным квадратом: $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$. Функция имеет вид $y = (2x - 1)^2$. Вершина параболы касается оси Ox в точке, где $(2x - 1)^2 = 0$, то есть при $x=\frac{1}{2}$. Поскольку ветви параболы направлены вверх и она касается оси Ox в точке $x=\frac{1}{2}$, значения функции $y$ всегда неотрицательны ($y \ge 0$). Неравенство $y > 0$ будет выполняться для всех значений $x$, кроме той точки, где $y=0$, то есть $x=\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \infty)$.

103. Решите неравенство:

а) $4x^2 + 20x + 25 < 0$;

б) $9x^2 - 36x + 36 > 0$;

в) $49x^2 + 14x + 1 > 0$;

г) $25x^2 - 10x + 1 < 0$;

д) $2x^2 + 3x + 1\frac{1}{8} > 0$;

е) $9x^2 - 10x + 2\frac{7}{9} < 0$.

а) $4x^2 + 20x + 25 < 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = 4x^2 = (2x)^2$, $b^2 = 25 = 5^2$, и $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$(2x + 5)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, он всегда больше или равен нулю. То есть, $(2x + 5)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Следовательно, неравенство $(2x + 5)^2 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б) $9x^2 - 36x + 36 > 0$

Разделим обе части неравенства на 9 (так как 9 > 0, знак неравенства не меняется):

$x^2 - 4x + 4 > 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=x$, $b=2$, поэтому $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа больше или равен нулю. Равенство нулю достигается, когда выражение в скобках равно нулю: $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Во всех остальных случаях $(x - 2)^2$ будет строго больше нуля.

Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

в) $49x^2 + 14x + 1 > 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат суммы: $49x^2 = (7x)^2$, $1 = 1^2$, и $14x = 2 \cdot 7x \cdot 1$.

Неравенство можно переписать как:

$(7x + 1)^2 > 0$

Выражение $(7x + 1)^2$ равно нулю при $7x + 1 = 0$, то есть при $x = -1/7$. Для всех остальных значений $x$ выражение $(7x + 1)^2$ строго положительно.

Следовательно, решение неравенства — это все действительные числа, кроме $x = -1/7$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/7) \cup (-1/7; +\infty)$.

г) $25x^2 - 10x + 1 < 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом разности: $25x^2 = (5x)^2$, $1 = 1^2$, и $-10x = -2 \cdot 5x \cdot 1$.

Перепишем неравенство в виде:

$(5x - 1)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Выражение $(5x - 1)^2$ всегда больше или равно нулю.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

д) $2x^2 + 3x + 1\frac{1}{8} > 0$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.

Неравенство примет вид:

$2x^2 + 3x + \frac{9}{8} > 0$

Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от дроби (знак неравенства не изменится):

$16x^2 + 24x + 9 > 0$

Левая часть является полным квадратом суммы: $16x^2 = (4x)^2$, $9 = 3^2$, и $24x = 2 \cdot 4x \cdot 3$.

Неравенство можно записать как:

$(4x + 3)^2 > 0$

Это выражение равно нулю при $4x + 3 = 0$, то есть при $x = -3/4$. Для всех остальных значений $x$ выражение $(4x + 3)^2$ строго положительно.

Решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x = -3/4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3/4) \cup (-3/4; +\infty)$.

е) $9x^2 - 10x + 2\frac{7}{9} < 0$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.

Неравенство примет вид:

$9x^2 - 10x + \frac{25}{9} < 0$

Умножим обе части неравенства на 9, чтобы избавиться от дроби:

$81x^2 - 90x + 25 < 0$

Левая часть является полным квадратом разности: $81x^2 = (9x)^2$, $25 = 5^2$, и $-90x = -2 \cdot 9x \cdot 5$.

Неравенство можно записать как:

$(9x - 5)^2 < 0$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Выражение $(9x - 5)^2 \ge 0$ для любых $x$.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

104. Исследуем. Найдите все значения $k$, при каждом из которых неравенство:

а) $x^2 - 24x + k > 0$ верно при всех $x$, кроме $x = 12$;

б) $64x^2 + kx + 9 > 0$ верно при всех $x$, кроме $x = -\frac{3}{8}$.

а)

Рассмотрим левую часть неравенства $x^2 - 24x + k > 0$ как квадратичную функцию $y(x) = x^2 - 24x + k$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Условие, что неравенство верно при всех $x$, кроме $x=12$, означает, что $y(x) > 0$ для всех $x \ne 12$, и $y(12) \le 0$ (т.е. неравенство не выполняется). Для параболы с ветвями вверх это возможно только в одном случае: если вершина параболы находится на оси абсцисс в точке $x=12$. В этой точке значение функции равно нулю, а во всех остальных точках — положительно.

Это означает, что квадратный трехчлен $x^2 - 24x + k$ имеет единственный корень (два совпадающих корня) в точке $x=12$. Такой трехчлен является полным квадратом и может быть представлен в виде $(x-x_0)^2$, где $x_0$ — корень.

Таким образом, $x^2 - 24x + k = (x - 12)^2$.

Раскроем скобки в правой части выражения:

$(x-12)^2 = x^2 - 2 \cdot 12 \cdot x + 12^2 = x^2 - 24x + 144$.

Сравнивая полученное выражение с исходным $x^2 - 24x + k$, мы видим, что свободные члены должны быть равны:

$k = 144$.

При этом значении $k$ неравенство принимает вид $(x-12)^2 > 0$. Это неравенство действительно верно для всех $x$, кроме $x=12$, при котором левая часть равна нулю.

Альтернативное решение через дискриминант:

Квадратное уравнение $x^2 - 24x + k = 0$ должно иметь один корень, следовательно, его дискриминант $D$ должен быть равен нулю.

$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 576 - 4k$.

$D = 0 \implies 576 - 4k = 0 \implies 4k = 576 \implies k = 144$.

Корень уравнения при $D=0$ находится по формуле $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-24}{2 \cdot 1} = 12$, что соответствует условию.

Ответ: $k=144$.

б)

Рассмотрим левую часть неравенства $64x^2 + kx + 9 > 0$ как квадратичную функцию $y(x) = 64x^2 + kx + 9$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 64 (положительное число).

Аналогично пункту а), условие, что неравенство верно при всех $x$, кроме $x = -\frac{3}{8}$, означает, что парабола касается оси абсцисс в точке $x = -\frac{3}{8}$. В этой точке $y(-\frac{3}{8}) = 0$, а для всех остальных $x$ значение $y(x) > 0$.

Следовательно, квадратный трехчлен $64x^2 + kx + 9$ является полным квадратом и имеет один корень $x_0 = -\frac{3}{8}$. Его можно представить в виде $a(x-x_0)^2$, где $a=64$.

$64x^2 + kx + 9 = 64\left(x - \left(-\frac{3}{8}\right)\right)^2 = 64\left(x + \frac{3}{8}\right)^2$.

Раскроем скобки в правой части:

$64\left(x + \frac{3}{8}\right)^2 = 64\left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{8} + \left(\frac{3}{8}\right)^2\right) = 64\left(x^2 + \frac{6}{8}x + \frac{9}{64}\right) = 64\left(x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{9}{64}\right)$.

Умножим на 64:

$64x^2 + 64 \cdot \frac{3}{4}x + 64 \cdot \frac{9}{64} = 64x^2 + 48x + 9$.

Сравнивая это выражение с исходным $64x^2 + kx + 9$, находим, что коэффициент при $x$ должен быть равен 48:

$k = 48$.

При этом значении $k$ неравенство принимает вид $64x^2 + 48x + 9 > 0$, или $(8x+3)^2 > 0$. Это неравенство верно для всех $x$, при которых $8x+3 \ne 0$, то есть $x \ne -\frac{3}{8}$.

Альтернативное решение через дискриминант:

Уравнение $64x^2 + kx + 9 = 0$ должно иметь один корень, значит, $D=0$.

$D = k^2 - 4 \cdot 64 \cdot 9 = k^2 - 2304$.

$D=0 \implies k^2 - 2304 = 0 \implies k^2 = 2304 \implies k = \pm 48$.

Корень уравнения: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{k}{2 \cdot 64} = -\frac{k}{128}$.

По условию, корень должен быть равен $-\frac{3}{8}$.

1. При $k=48$: $x = -\frac{48}{128} = -\frac{3 \cdot 16}{8 \cdot 16} = -\frac{3}{8}$. Это значение подходит.

2. При $k=-48$: $x = -\frac{-48}{128} = \frac{48}{128} = \frac{3}{8}$. Это значение не подходит.

Следовательно, единственное подходящее значение $k=48$.

Ответ: $k=48$.

105. Найдите все x, при каждом из которых неверно неравенство:

а) $x^2 + 8x + 16 > 0$;

б) $9x^2 - 6x + 1 < 0$.

а)

Требуется найти все значения $x$, при которых неверно неравенство $x^2 + 8x + 16 > 0$.

Неравенство является неверным, если выполняется противоположное ему неравенство. Противоположным для строгого неравенства $A > B$ является нестрогое неравенство $A \le B$. Таким образом, задача сводится к решению неравенства:

$x^2 + 8x + 16 \le 0$

Левая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x+4)^2$

Подставив это выражение в неравенство, получим:

$(x+4)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+4)^2 \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, неравенство $(x+4)^2 \le 0$ может быть верным только в том случае, когда левая часть равна нулю.

$(x+4)^2 = 0$

$x+4 = 0$

$x = -4$

Итак, исходное неравенство неверно только при $x = -4$.

Ответ: $x = -4$.

б)

Требуется найти все значения $x$, при которых неверно неравенство $9x^2 - 6x + 1 < 0$.

Данное неравенство будет неверным, если выполняется противоположное ему неравенство $A \ge B$. Таким образом, нам нужно решить неравенство:

$9x^2 - 6x + 1 \ge 0$

Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x-1)^2$

Подставив это выражение в неравенство, получим:

$(3x-1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть он всегда больше или равен нулю. Это означает, что неравенство $(3x-1)^2 \ge 0$ справедливо для любого действительного значения $x$.

Следовательно, исходное неравенство $9x^2 - 6x + 1 < 0$ неверно при любом значении $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число.