Страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

121. а) $x^2 > 6x - 9;$

в) $4 - 3x < 1 - 2x^2;$

д) $x^2 - 7x + 5 > 3x^2 - 5x;$

б) $16x^2 < 8x - 1;$

г) $6x > 12 - 5x^2;$

е) $4x^2 + 8x > 7x - 12.$

а) $x^2 > 6x - 9$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^2 - 6x + 9 > 0$

Левая часть представляет собой полный квадрат разности:

$(x - 3)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x - 3)^2 \geq 0$ для любого $x$. Неравенство является строгим, поэтому необходимо исключить случай, когда выражение равно нулю.

$(x - 3)^2 = 0$ при $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 3$.

Ответ: $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$

б) $16x^2 < 8x - 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$16x^2 - 8x + 1 < 0$

Левая часть является полным квадратом разности:

$(4x - 1)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, то есть $(4x - 1)^2 \geq 0$ для любого $x$.

Следовательно, неравенство $(4x - 1)^2 < 0$ не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет

в) $4 - 3x < 1 - 2x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 3x + 4 - 1 < 0$

$2x^2 - 3x + 3 < 0$

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 2x^2 - 3x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=2>0$). Найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 3x + 3 = 0$, чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси $Ox$, то есть $2x^2 - 3x + 3 > 0$ для всех $x$.

Следовательно, неравенство $2x^2 - 3x + 3 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет

г) $6x > 12 - 5x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 + 6x - 12 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 + 6x - 12 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 36 + 240 = 276$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{276}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 69}}{10} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{69}}{10} = \frac{-3 \pm \sqrt{69}}{5}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{69}}{5}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{69}}{5}$.

Графиком функции $y = 5x^2 + 6x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=5>0$). Следовательно, значения функции положительны вне интервала между корнями.

Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, \frac{-3 - \sqrt{69}}{5}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{69}}{5}, \infty)$

д) $x^2 - 7x + 5 > 3x^2 - 5x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 > 3x^2 - x^2 - 5x + 7x - 5$

$0 > 2x^2 + 2x - 5$

Это эквивалентно неравенству:

$2x^2 + 2x - 5 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 2x - 5 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 4 + 40 = 44$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{11}}{2}$

Итак, $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{11}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{11}}{2}$.

Ветви параболы $y = 2x^2 + 2x - 5$ направлены вверх ($a=2>0$). Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(x_1, x_2)$.

Ответ: $(\frac{-1 - \sqrt{11}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{11}}{2})$

е) $4x^2 + 8x > 7x - 12$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 + 8x - 7x + 12 > 0$

$4x^2 + x + 12 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 4x^2 + x + 12$. Ветви параболы направлены вверх ($a=4>0$). Найдем корни уравнения $4x^2 + x + 12 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 12 = 1 - 192 = -191$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось $Ox$. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси абсцисс.

Это означает, что выражение $4x^2 + x + 12$ всегда положительно для любого действительного $x$.

Следовательно, неравенство $4x^2 + x + 12 > 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, \infty)$

122. а) $\frac{x-1}{3} + 0,2x^2 < 1;$

б) $x^2 - \frac{7 - 2x}{4} > 0,2;$

в) $\frac{(x-1)(x-2)}{15} < \frac{x+1}{5} - \frac{x}{3};$

г) $\frac{12 - x^2}{4} - \frac{x}{3} < \frac{(x-3)^2}{12}.$

а) Решим неравенство $\frac{x-1}{3} + 0,2x^2 < 1$.

Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Неравенство примет вид:

$\frac{x-1}{3} + \frac{1}{5}x^2 < 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\frac{x-1}{3} + \frac{x^2}{5} - 1 < 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 15. Так как 15 > 0, знак неравенства не изменится.

$15 \cdot \left(\frac{x-1}{3}\right) + 15 \cdot \left(\frac{x^2}{5}\right) - 15 \cdot 1 < 0$

$5(x-1) + 3x^2 - 15 < 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5x - 5 + 3x^2 - 15 < 0$

$3x^2 + 5x - 20 < 0$

Мы получили квадратичное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 5x - 20 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 25 + 240 = 265$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{265}}{6}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{265}}{6}$ и $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{265}}{6}$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 5x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$). Следовательно, значения функции меньше нуля ($y < 0$) находятся между корнями.

Решением неравенства является интервал $(x_1, x_2)$.

Ответ: $x \in \left(\frac{-5 - \sqrt{265}}{6}; \frac{-5 + \sqrt{265}}{6}\right)$.

б) Решим неравенство $x^2 - \frac{x^2 - 2x}{4} > 0,2$.

Представим $0,2$ в виде дроби $\frac{1}{5}$ и умножим все неравенство на наименьший общий знаменатель 20:

$20 \cdot x^2 - 20 \cdot \frac{x^2 - 2x}{4} > 20 \cdot \frac{1}{5}$

$20x^2 - 5(x^2 - 2x) > 4$

Раскроем скобки и приведем подобные:

$20x^2 - 5x^2 + 10x > 4$

$15x^2 + 10x - 4 > 0$

Решим квадратное уравнение $15x^2 + 10x - 4 = 0$, чтобы найти точки пересечения параболы с осью Ox.

Дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-4) = 100 + 240 = 340$.

$\sqrt{D} = \sqrt{340} = \sqrt{4 \cdot 85} = 2\sqrt{85}$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{85}}{2 \cdot 15} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{85}}{30} = \frac{-5 \pm \sqrt{85}}{15}$.

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{85}}{15}$ и $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{85}}{15}$.

Ветви параболы $y = 15x^2 + 10x - 4$ направлены вверх ($a=15 > 0$). Значения функции больше нуля ($y > 0$) находятся за пределами корней.

Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{-5 - \sqrt{85}}{15}\right) \cup \left(\frac{-5 + \sqrt{85}}{15}; +\infty\right)$.

в) Решим неравенство $\frac{(x-1)(x-2)}{15} < \frac{x+1}{5} - \frac{x}{3}$.

Умножим обе части на общий знаменатель 15:

$15 \cdot \frac{(x-1)(x-2)}{15} < 15 \cdot \frac{x+1}{5} - 15 \cdot \frac{x}{3}$

$(x-1)(x-2) < 3(x+1) - 5x$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2x - x + 2 < 3x + 3 - 5x$

$x^2 - 3x + 2 < -2x + 3$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 3x + 2x + 2 - 3 < 0$

$x^2 - x - 1 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 - x - 1$ направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $x \in \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)$.

г) Решим неравенство $\frac{12-x^2}{4} - \frac{x}{3} < \frac{(x-3)^2}{12}$.

Умножим обе части на общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{12-x^2}{4} - 12 \cdot \frac{x}{3} < 12 \cdot \frac{(x-3)^2}{12}$

$3(12-x^2) - 4x < (x-3)^2$

Раскроем скобки:

$36 - 3x^2 - 4x < x^2 - 6x + 9$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить положительный коэффициент при $x^2$:

$0 < x^2 + 3x^2 - 6x + 4x + 9 - 36$

$0 < 4x^2 - 2x - 27$, что эквивалентно $4x^2 - 2x - 27 > 0$.

Найдем корни уравнения $4x^2 - 2x - 27 = 0$.

Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-27) = 4 + 432 = 436$.

$\sqrt{D} = \sqrt{436} = \sqrt{4 \cdot 109} = 2\sqrt{109}$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{109}}{2 \cdot 4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{109}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{109}}{4}$.

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{109}}{4}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{109}}{4}$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 2x - 27$ направлены вверх ($a=4 > 0$), поэтому неравенство $y > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{109}}{4}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{109}}{4}; +\infty\right)$.

123. a) $|x^2 - 6x + 8| < 3;$

б) $|x^2 + 2x - 4| > 4;$

в) $4 < |x^2 - 2x - 4| < 11;$

г) $6 < |x^2 + 4x - 6| < 15.$

а)

Исходное неравенство: $|x^2 - 6x + 8| < 3$.

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применительно к нашему случаю:

$-3 < x^2 - 6x + 8 < 3$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 < 3 \\ x^2 - 6x + 8 > -3 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 6x + 8 < 3$.

$x^2 - 6x + 5 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 5$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x + 5 < 0$ выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (1; 5)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 6x + 8 > -3$.

$x^2 - 6x + 11 > 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 11$:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), квадратный трехчлен принимает положительные значения при любых значениях $x$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(1; 5) \cap (-\infty; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(1; 5)$.

Ответ: $x \in (1; 5)$.

б)

Исходное неравенство: $|x^2 + 2x - 4| > 4$.

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Применительно к нашему случаю:

$x^2 + 2x - 4 > 4$ или $x^2 + 2x - 4 < -4$.

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 2x - 4 > 4$.

$x^2 + 2x - 8 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$, $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + 2x - 8$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 8 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 2x - 4 < -4$.

$x^2 + 2x < 0$

$x(x + 2) < 0$

Корни уравнения $x(x + 2) = 0$ равны $x_1 = -2$, $x_2 = 0$.

Парабола $y = x^2 + 2x$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x(x+2) < 0$ выполняется между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-2; 0)$.

3. Объединим решения обоих неравенств:

$(-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \cup (-2; 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; 0) \cup (2; +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $4 < |x^2 - 2x - 4| < 11$.

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} |x^2 - 2x - 4| > 4 \\ |x^2 - 2x - 4| < 11 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $|x^2 - 2x - 4| > 4$.

Оно распадается на совокупность:

$x^2 - 2x - 4 > 4$ или $x^2 - 2x - 4 < -4$.

а) $x^2 - 2x - 8 > 0$. Корни $x^2 - 2x - 8 = 0$ это $x_1 = -2$, $x_2 = 4$. Решение: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$.

б) $x^2 - 2x < 0 \implies x(x-2) < 0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Решение: $x \in (0; 2)$.

Решение первого неравенства системы — это объединение решений а) и б): $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2) \cup (4; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $|x^2 - 2x - 4| < 11$.

Оно равносильно двойному неравенству $-11 < x^2 - 2x - 4 < 11$, что является системой:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 4 < 11 \\ x^2 - 2x - 4 > -11 \end{cases}$

а) $x^2 - 2x - 15 < 0$. Корни $x^2 - 2x - 15 = 0$ это $x_1 = -3$, $x_2 = 5$. Решение: $x \in (-3; 5)$.

б) $x^2 - 2x + 7 > 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24 < 0$. Так как $D<0$ и старший коэффициент положителен, неравенство верно для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решение второго неравенства системы — это пересечение решений а) и б): $x \in (-3; 5)$.

3. Найдем пересечение решений исходной системы:

$\big( (-\infty; -2) \cup (0; 2) \cup (4; +\infty) \big) \cap (-3; 5)$.

Разобьем на интервалы:

$(-\infty; -2) \cap (-3; 5) = (-3; -2)$

$(0; 2) \cap (-3; 5) = (0; 2)$

$(4; +\infty) \cap (-3; 5) = (4; 5)$

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (0; 2) \cup (4; 5)$.

г)

Исходное неравенство: $6 < |x^2 + 4x - 6| < 15$.

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} |x^2 + 4x - 6| > 6 \\ |x^2 + 4x - 6| < 15 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $|x^2 + 4x - 6| > 6$.

Оно распадается на совокупность:

$x^2 + 4x - 6 > 6$ или $x^2 + 4x - 6 < -6$.

а) $x^2 + 4x - 12 > 0$. Корни $x^2 + 4x - 12 = 0$ это $x_1 = -6$, $x_2 = 2$. Решение: $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.

б) $x^2 + 4x < 0 \implies x(x+4) < 0$. Корни $x_1 = -4$, $x_2 = 0$. Решение: $x \in (-4; 0)$.

Решение первого неравенства системы: $x \in (-\infty; -6) \cup (-4; 0) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $|x^2 + 4x - 6| < 15$.

Оно равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 4x - 6 < 15 \\ x^2 + 4x - 6 > -15 \end{cases}$

а) $x^2 + 4x - 21 < 0$. Корни $x^2 + 4x - 21 = 0$ это $x_1 = -7$, $x_2 = 3$. Решение: $x \in (-7; 3)$.

б) $x^2 + 4x + 9 > 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20 < 0$. Неравенство верно для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решение второго неравенства системы: $x \in (-7; 3)$.

3. Найдем пересечение решений исходной системы:

$\big( (-\infty; -6) \cup (-4; 0) \cup (2; +\infty) \big) \cap (-7; 3)$.

Разобьем на интервалы:

$(-\infty; -6) \cap (-7; 3) = (-7; -6)$

$(-4; 0) \cap (-7; 3) = (-4; 0)$

$(2; +\infty) \cap (-7; 3) = (2; 3)$

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-7; -6) \cup (-4; 0) \cup (2; 3)$.

124. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{4}{\sqrt{x^2}};$

б) $y = \frac{-x}{\sqrt{x^2 - 1}};$

в) $y = \frac{8x - 7}{\sqrt{x^2 + 4}};$

г) $y = \frac{x^2 - 4x}{\sqrt{x^2 - 4}};$

д) $y = \frac{9x}{\sqrt{x^2 + 3}};$

е) $y = \frac{-12}{\sqrt{x^2 - 14x + 4}};$

ж) $y = \frac{1}{\sqrt{3x - 2 - x^2}};$

з) $y = \frac{-5x}{\sqrt{x^2 - 3}};$

и) $y = \frac{5 + x^2}{\sqrt{5 - x^2}}.$

а)

Дана функция $y = \frac{4}{\sqrt{x^2}}$.

Область определения функции задается условием, при котором выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе, строго больше нуля. Это необходимо, так как извлечение квадратного корня возможно только из неотрицательного числа, а деление на ноль недопустимо.

Следовательно, мы должны решить неравенство: $x^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа, кроме нуля, является положительным числом. $x^2 = 0$ только при $x = 0$. Таким образом, неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 0$.

Область определения функции — это все действительные числа, за исключением нуля.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{-x}{\sqrt{x^2 - 1}}$.

Область определения функции определяется условием, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $x^2 - 1 > 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 1)(x + 1) > 0$.

Корнями уравнения $x^2 - 1 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции положительны при $x$ за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

в)

Дана функция $y = \frac{8x - 7}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

Область определения задается неравенством $x^2 + 4 > 0$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, $x^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4$.

Так как $x^2 + 4$ всегда больше или равно 4, неравенство $x^2 + 4 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

г)

Дана функция $y = \frac{x^2 - 4x}{\sqrt{x^2 - 4}}$.

Область определения определяется условием $x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 2)(x + 2) > 0$.

Корнями уравнения $x^2 - 4 = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 4$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x < -2$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

д)

Дана функция $y = \frac{9x}{\sqrt{x^2 + 3}}$.

Область определения задается неравенством $x^2 + 3 > 0$.

Так как $x^2 \ge 0$ для всех действительных $x$, то $x^2 + 3 \ge 3$.

Неравенство $x^2 + 3 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

е)

Дана функция $y = \frac{-12}{\sqrt{x^2 - 14x + 4}}$.

Область определения задается неравенством $x^2 - 14x + 4 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 14x + 4 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 196 - 16 = 180$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{180}}{2} = \frac{14 \pm 6\sqrt{5}}{2} = 7 \pm 3\sqrt{5}$.

Получаем корни $x_1 = 7 - 3\sqrt{5}$ и $x_2 = 7 + 3\sqrt{5}$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 14x + 4$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x < 7 - 3\sqrt{5}$ или $x > 7 + 3\sqrt{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty, 7 - 3\sqrt{5}) \cup (7 + 3\sqrt{5}, +\infty)$.

ж)

Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{3x - 2 - x^2}}$.

Область определения задается неравенством $3x - 2 - x^2 > 0$.

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 - 3x + 2 < 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 1)(x - 2) < 0$.

Корнями уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Графиком $f(x) = x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями вверх, поэтому значения функции отрицательны между корнями.

Решение неравенства: $1 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

з)

Дана функция $y = \frac{-5x}{\sqrt{x^2 - 3}}$.

Область определения задается неравенством $x^2 - 3 > 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) > 0$.

Корнями уравнения $x^2 - 3 = 0$ являются $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$. Парабола $f(x) = x^2 - 3$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x < -\sqrt{3}$ или $x > \sqrt{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.

и)

Дана функция $y = \frac{5 + x^2}{\sqrt{5 - x^2}}$.

Область определения задается неравенством $5 - x^2 > 0$.

Перенесем $x^2$ в правую часть: $5 > x^2$, или $x^2 < 5$.

Это неравенство равносильно $|x| < \sqrt{5}$.

Решением является интервал $-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$.