Номер 121, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

121. а) $x^2 > 6x - 9;$

в) $4 - 3x < 1 - 2x^2;$

д) $x^2 - 7x + 5 > 3x^2 - 5x;$

б) $16x^2 < 8x - 1;$

г) $6x > 12 - 5x^2;$

е) $4x^2 + 8x > 7x - 12.$

а) $x^2 > 6x - 9$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^2 - 6x + 9 > 0$

Левая часть представляет собой полный квадрат разности:

$(x - 3)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x - 3)^2 \geq 0$ для любого $x$. Неравенство является строгим, поэтому необходимо исключить случай, когда выражение равно нулю.

$(x - 3)^2 = 0$ при $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 3$.

Ответ: $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$

б) $16x^2 < 8x - 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$16x^2 - 8x + 1 < 0$

Левая часть является полным квадратом разности:

$(4x - 1)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, то есть $(4x - 1)^2 \geq 0$ для любого $x$.

Следовательно, неравенство $(4x - 1)^2 < 0$ не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет

в) $4 - 3x < 1 - 2x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 3x + 4 - 1 < 0$

$2x^2 - 3x + 3 < 0$

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 2x^2 - 3x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=2>0$). Найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 3x + 3 = 0$, чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси $Ox$, то есть $2x^2 - 3x + 3 > 0$ для всех $x$.

Следовательно, неравенство $2x^2 - 3x + 3 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет

г) $6x > 12 - 5x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 + 6x - 12 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 + 6x - 12 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 36 + 240 = 276$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{276}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 69}}{10} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{69}}{10} = \frac{-3 \pm \sqrt{69}}{5}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{69}}{5}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{69}}{5}$.

Графиком функции $y = 5x^2 + 6x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=5>0$). Следовательно, значения функции положительны вне интервала между корнями.

Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, \frac{-3 - \sqrt{69}}{5}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{69}}{5}, \infty)$

д) $x^2 - 7x + 5 > 3x^2 - 5x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 > 3x^2 - x^2 - 5x + 7x - 5$

$0 > 2x^2 + 2x - 5$

Это эквивалентно неравенству:

$2x^2 + 2x - 5 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 2x - 5 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 4 + 40 = 44$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{11}}{2}$

Итак, $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{11}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{11}}{2}$.

Ветви параболы $y = 2x^2 + 2x - 5$ направлены вверх ($a=2>0$). Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(x_1, x_2)$.

Ответ: $(\frac{-1 - \sqrt{11}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{11}}{2})$

е) $4x^2 + 8x > 7x - 12$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 + 8x - 7x + 12 > 0$

$4x^2 + x + 12 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 4x^2 + x + 12$. Ветви параболы направлены вверх ($a=4>0$). Найдем корни уравнения $4x^2 + x + 12 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 12 = 1 - 192 = -191$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось $Ox$. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси абсцисс.

Это означает, что выражение $4x^2 + x + 12$ всегда положительно для любого действительного $x$.

Следовательно, неравенство $4x^2 + x + 12 > 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, \infty)$