Номер 119, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

119. a) $10x^2 > 3 + 5x;$

в) $23x < 9x^2 + 8;$

б) $12x^2 > 8x + 3;$

г) $7x^2 - 6 > 25x.$

а)

Перенесем все члены неравенства $10x^2 > 3 + 5x$ в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$10x^2 - 5x - 3 > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $10x^2 - 5x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 25 + 120 = 145$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{145}}{2 \cdot 10} = \frac{5 - \sqrt{145}}{20}$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{145}}{2 \cdot 10} = \frac{5 + \sqrt{145}}{20}$

Графиком функции $y = 10x^2 - 5x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент $a=10 > 0$). Следовательно, значения функции положительны (больше нуля) за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{145}}{20}) \cup (\frac{5 + \sqrt{145}}{20}; +\infty)$

б)

Перенесем все члены неравенства $12x^2 > 8x + 3$ в левую часть:

$12x^2 - 8x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $12x^2 - 8x - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 64 + 144 = 208$

Найдем корни уравнения. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$.

$x_{1,2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{13}}{2 \cdot 12} = \frac{4(2 \pm \sqrt{13})}{24} = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{6}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{13}}{6}$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{13}}{6}$.

Ветви параболы $y = 12x^2 - 8x - 3$ направлены вверх ($a=12 > 0$), поэтому неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2 - \sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{2 + \sqrt{13}}{6}; +\infty)$

в)

Перепишем неравенство $23x < 9x^2 + 8$, перенеся все члены в одну сторону:

$9x^2 - 23x + 8 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9x^2 - 23x + 8 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 8 = 529 - 288 = 241$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{23 - \sqrt{241}}{2 \cdot 9} = \frac{23 - \sqrt{241}}{18}$

$x_2 = \frac{23 + \sqrt{241}}{2 \cdot 9} = \frac{23 + \sqrt{241}}{18}$

Ветви параболы $y = 9x^2 - 23x + 8$ направлены вверх ($a=9>0$), поэтому неравенство $9x^2 - 23x + 8 > 0$ выполняется для значений $x$ за пределами корней.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{23 - \sqrt{241}}{18}) \cup (\frac{23 + \sqrt{241}}{18}; +\infty)$

г)

Перенесем все члены неравенства $7x^2 - 6 > 25x$ в левую часть:

$7x^2 - 25x - 6 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 - 25x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-6) = 625 + 168 = 793$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{25 - \sqrt{793}}{2 \cdot 7} = \frac{25 - \sqrt{793}}{14}$

$x_2 = \frac{25 + \sqrt{793}}{2 \cdot 7} = \frac{25 + \sqrt{793}}{14}$

Ветви параболы $y = 7x^2 - 25x - 6$ направлены вверх ($a=7>0$), поэтому неравенство $7x^2 - 25x - 6 > 0$ выполняется для $x$ вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{25 - \sqrt{793}}{14}) \cup (\frac{25 + \sqrt{793}}{14}; +\infty)$