Номер 114, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

114. Являются ли равносильными неравенства:

а) $3 - x + x^2 > 0$ и $x^2 > x - 3$;

б) $x^2 - 5 < 3x$ и $4x^2 - 12x < 20$;

в) $\frac{x^2 - 7x}{2} < 4$ и $3x^2 - 21x - 24 < 0$;

г) $x^2 + 5x - 7 > 0$ и $0,01x^2 - 0,07 > -\frac{1}{20}x$?

а) $3 - x + x^2 > 0$ и $x^2 > x - 3$

Два неравенства являются равносильными, если множества их решений совпадают.

Рассмотрим первое неравенство $3 - x + x^2 > 0$. Перепишем его в стандартном виде: $x^2 - x + 3 > 0$. Это квадратное неравенство. Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x + 3 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), парабола $y = x^2 - x + 3$ целиком лежит выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $x^2 - x + 3 > 0$ выполняется для любых действительных значений $x$. Множество решений: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство $x^2 > x - 3$. Перенеся все члены в левую часть, получим $x^2 - x + 3 > 0$. Это неравенство в точности совпадает с первым, следовательно, множество его решений также $(-\infty; +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными.
Ответ: да, являются.

б) $x^2 - 5 < 3x$ и $4x^2 - 12x < 20$

Преобразуем первое неравенство, перенеся все члены в левую часть: $x^2 - 3x - 5 < 0$.

Преобразуем второе неравенство. Разделим обе его части на положительное число 4 (это равносильное преобразование): $x^2 - 3x < 5$. Перенесем 5 в левую часть: $x^2 - 3x - 5 < 0$.

Поскольку оба неравенства приводятся к одному и тому же виду $x^2 - 3x - 5 < 0$ с помощью равносильных преобразований, их множества решений совпадают. Следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: да, являются.

в) $\frac{x^2 - 7x}{2} < 4$ и $3x^2 - 21x - 24 < 0$

Преобразуем первое неравенство. Умножим обе части на 2 (положительное число), сохраняя знак неравенства: $x^2 - 7x < 8$. Перенесем 8 в левую часть: $x^2 - 7x - 8 < 0$.

Преобразуем второе неравенство. Разделим обе части на 3 (положительное число): $x^2 - 7x - 8 < 0$.

Оба неравенства приводятся к одному и тому же виду $x^2 - 7x - 8 < 0$. Следовательно, они равносильны.
Ответ: да, являются.

г) $x^2 + 5x - 7 > 0$ и $0.01x^2 - 0.07 > -\frac{1}{20}x$

Первое неравенство уже записано в стандартном виде: $x^2 + 5x - 7 > 0$.

Преобразуем второе неравенство. Заметим, что $\frac{1}{20} = 0.05$. Неравенство принимает вид: $0.01x^2 - 0.07 > -0.05x$. Умножим обе части на 100 (положительное число), чтобы избавиться от дробей: $x^2 - 7 > -5x$. Перенесем все члены в левую часть: $x^2 + 5x - 7 > 0$.

Оба неравенства приводятся к одному и тому же виду $x^2 + 5x - 7 > 0$. Следовательно, они равносильны.
Ответ: да, являются.