Номер 109, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (109—111):

109. а) $3x^2 - 2x + 1 > 0;$

б) $5x^2 - 4x + 2 < 0;$

в) $-4x^2 + x - 6 < 0;$

г) $-7x^2 + 3x - 1 > 0.$

а) $3x^2 - 2x + 1 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 3x^2 - 2x + 1$. Графиком этой функции является парабола.
1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), для чего решим квадратное уравнение $3x^2 - 2x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.
3. Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.
4. Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Следовательно, значение выражения $3x^2 - 2x + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.
Таким образом, неравенство $3x^2 - 2x + 1 > 0$ верно для всех $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $5x^2 - 4x + 2 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 5x^2 - 4x + 2$.
1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 5$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант уравнения $5x^2 - 4x + 2 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 16 - 40 = -24$.
3. Дискриминант $D < 0$, поэтому уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.
4. Парабола с ветвями, направленными вверх, которая не пересекает ось Ox, полностью находится в верхней полуплоскости. Это означает, что выражение $5x^2 - 4x + 2$ всегда принимает положительные значения.
5. Требуется найти значения $x$, при которых $5x^2 - 4x + 2 < 0$. Так как левая часть неравенства всегда положительна, то отрицательных значений она принимать не может.
Ответ: нет решений.

в) $-4x^2 + x - 6 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -4x^2 + x - 6$.
1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -4$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем дискриминант уравнения $-4x^2 + x - 6 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-6) = 1 - 96 = -95$.
3. Дискриминант $D < 0$, значит, действительных корней у уравнения нет, и парабола не пересекает ось Ox.
4. Парабола с ветвями, направленными вниз, которая не пересекает ось Ox, полностью находится в нижней полуплоскости. Это означает, что выражение $-4x^2 + x - 6$ всегда принимает отрицательные значения.
5. Таким образом, неравенство $-4x^2 + x - 6 < 0$ верно для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $-7x^2 + 3x - 1 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -7x^2 + 3x - 1$.
1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -7$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем дискриминант уравнения $-7x^2 + 3x - 1 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-1) = 9 - 28 = -19$.
3. Дискриминант $D < 0$, поэтому уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.
4. Парабола с ветвями, направленными вниз, не пересекающая ось Ox, целиком расположена ниже этой оси. Следовательно, выражение $-7x^2 + 3x - 1$ всегда отрицательно.
5. Требуется найти значения $x$, при которых $-7x^2 + 3x - 1 > 0$. Поскольку левая часть неравенства всегда отрицательна, она не может быть больше нуля.
Ответ: нет решений.