Номер 108, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

108. Решите неравенство, используя график квадратичной функции:

а) $x^2 - x + 3 > 0;$

б) $x^2 + 2x + 2 < 0;$

в) $x^2 - 3x + 4 < 0;$

г) $x^2 + x + 5 < 0.$

а) $x^2 - x + 3 > 0$

Для решения неравенства используем график квадратичной функции $y = x^2 - x + 3$. Графиком этой функции является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), решив уравнение $x^2 - x + 3 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

3. Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола целиком расположена выше оси Ox. Это значит, что для любого значения $x$ значение функции $y = x^2 - x + 3$ будет положительным.

Таким образом, неравенство $x^2 - x + 3 > 0$ справедливо для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $x^2 + 2x + 2 < 0$

Рассмотрим график квадратичной функции $y = x^2 + 2x + 2$. Это парабола.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $x^2 + 2x + 2 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

3. Ветви параболы направлены вверх, и она не пересекает ось Ox. Следовательно, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что значение функции $y = x^2 + 2x + 2$ всегда положительно.

Неравенство $x^2 + 2x + 2 < 0$ требует найти значения $x$, при которых график функции находится ниже оси Ox. Таких значений не существует.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

в) $x^2 - 3x + 4 < 0$

Рассмотрим график квадратичной функции $y = x^2 - 3x + 4$. Это парабола.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $x^2 - 3x + 4 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

3. Парабола с ветвями вверх, не пересекающая ось Ox, полностью лежит в верхней полуплоскости (выше оси Ox). Это значит, что $y = x^2 - 3x + 4 > 0$ для всех $x$.

Мы ищем решения неравенства $x^2 - 3x + 4 < 0$, то есть значения $x$, при которых график лежит ниже оси Ox. Таких значений не существует.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

г) $x^2 + x + 5 < 0$

Рассмотрим график квадратичной функции $y = x^2 + x + 5$. Это парабола.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $x^2 + x + 5 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

3. Парабола с ветвями, направленными вверх, и без точек пересечения с осью Ox, целиком расположена выше этой оси. Следовательно, $y = x^2 + x + 5$ всегда больше нуля.

Неравенство $x^2 + x + 5 < 0$ требует найти значения $x$, при которых график функции находится ниже оси Ox. Таких значений нет.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).