Номер 106, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

106. Имеет ли неравенство второй степени решения, если его дискриминант меньше нуля ($D < 0$)? Какие случаи возможны?

Да, неравенство второй степени может иметь решения, если его дискриминант меньше нуля, но может и не иметь. Это зависит от знака старшего коэффициента и знака самого неравенства.

Рассмотрим общий вид неравенства второй степени $ax^2 + bx + c \lor 0$, где $\lor$ — это один из знаков $>, <, \geq, \leq$, и $a \neq 0$. Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$, графиком которой является парабола.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ определяет количество его действительных корней. Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола $y = ax^2 + bx + c$ не пересекает ось абсцисс (ось $Ox$). Следовательно, вся парабола расположена либо строго выше, либо строго ниже оси $Ox$.

Для определения, имеет ли неравенство решения, необходимо рассмотреть два случая, зависящие от знака старшего коэффициента $a$.

Случай 1: Старший коэффициент $a > 0$

Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх. Так как парабола не пересекает ось $Ox$ (поскольку $D < 0$), она полностью расположена в верхней полуплоскости. Это означает, что значение трехчлена $ax^2 + bx + c$ всегда положительно при любом значении $x$.

• Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ выполняется для всех действительных чисел. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Неравенство $ax^2 + bx + c \geq 0$ также выполняется для всех действительных чисел. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ не имеет решений, так как трехчлен всегда положителен.
• Неравенство $ax^2 + bx + c \leq 0$ также не имеет решений.

Случай 2: Старший коэффициент $a < 0$

Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз. Так как парабола не пересекает ось $Ox$ ($D < 0$), она полностью расположена в нижней полуплоскости. Это означает, что значение трехчлена $ax^2 + bx + c$ всегда отрицательно при любом значении $x$.

• Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ не имеет решений, так как трехчлен всегда отрицателен.
• Неравенство $ax^2 + bx + c \geq 0$ также не имеет решений.
• Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ выполняется для всех действительных чисел. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Неравенство $ax^2 + bx + c \leq 0$ также выполняется для всех действительных чисел. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Да, неравенство второй степени при $D<0$ может иметь решения. Это зависит от знака старшего коэффициента $a$ и знака неравенства. Возможны следующие случаи:
1. Если $a > 0$ и $D < 0$, то неравенства вида $ax^2 + bx + c > 0$ и $ax^2 + bx + c \geq 0$ имеют решением любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$), а неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ и $ax^2 + bx + c \leq 0$ решений не имеют.
2. Если $a < 0$ и $D < 0$, то неравенства вида $ax^2 + bx + c < 0$ и $ax^2 + bx + c \leq 0$ имеют решением любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$), а неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ и $ax^2 + bx + c \geq 0$ решений не имеют.