Номер 104, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

104. Исследуем. Найдите все значения $k$, при каждом из которых неравенство:

а) $x^2 - 24x + k > 0$ верно при всех $x$, кроме $x = 12$;

б) $64x^2 + kx + 9 > 0$ верно при всех $x$, кроме $x = -\frac{3}{8}$.

а)

Рассмотрим левую часть неравенства $x^2 - 24x + k > 0$ как квадратичную функцию $y(x) = x^2 - 24x + k$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Условие, что неравенство верно при всех $x$, кроме $x=12$, означает, что $y(x) > 0$ для всех $x \ne 12$, и $y(12) \le 0$ (т.е. неравенство не выполняется). Для параболы с ветвями вверх это возможно только в одном случае: если вершина параболы находится на оси абсцисс в точке $x=12$. В этой точке значение функции равно нулю, а во всех остальных точках — положительно.

Это означает, что квадратный трехчлен $x^2 - 24x + k$ имеет единственный корень (два совпадающих корня) в точке $x=12$. Такой трехчлен является полным квадратом и может быть представлен в виде $(x-x_0)^2$, где $x_0$ — корень.

Таким образом, $x^2 - 24x + k = (x - 12)^2$.

Раскроем скобки в правой части выражения:

$(x-12)^2 = x^2 - 2 \cdot 12 \cdot x + 12^2 = x^2 - 24x + 144$.

Сравнивая полученное выражение с исходным $x^2 - 24x + k$, мы видим, что свободные члены должны быть равны:

$k = 144$.

При этом значении $k$ неравенство принимает вид $(x-12)^2 > 0$. Это неравенство действительно верно для всех $x$, кроме $x=12$, при котором левая часть равна нулю.

Альтернативное решение через дискриминант:

Квадратное уравнение $x^2 - 24x + k = 0$ должно иметь один корень, следовательно, его дискриминант $D$ должен быть равен нулю.

$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 576 - 4k$.

$D = 0 \implies 576 - 4k = 0 \implies 4k = 576 \implies k = 144$.

Корень уравнения при $D=0$ находится по формуле $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-24}{2 \cdot 1} = 12$, что соответствует условию.

Ответ: $k=144$.

б)

Рассмотрим левую часть неравенства $64x^2 + kx + 9 > 0$ как квадратичную функцию $y(x) = 64x^2 + kx + 9$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 64 (положительное число).

Аналогично пункту а), условие, что неравенство верно при всех $x$, кроме $x = -\frac{3}{8}$, означает, что парабола касается оси абсцисс в точке $x = -\frac{3}{8}$. В этой точке $y(-\frac{3}{8}) = 0$, а для всех остальных $x$ значение $y(x) > 0$.

Следовательно, квадратный трехчлен $64x^2 + kx + 9$ является полным квадратом и имеет один корень $x_0 = -\frac{3}{8}$. Его можно представить в виде $a(x-x_0)^2$, где $a=64$.

$64x^2 + kx + 9 = 64\left(x - \left(-\frac{3}{8}\right)\right)^2 = 64\left(x + \frac{3}{8}\right)^2$.

Раскроем скобки в правой части:

$64\left(x + \frac{3}{8}\right)^2 = 64\left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{8} + \left(\frac{3}{8}\right)^2\right) = 64\left(x^2 + \frac{6}{8}x + \frac{9}{64}\right) = 64\left(x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{9}{64}\right)$.

Умножим на 64:

$64x^2 + 64 \cdot \frac{3}{4}x + 64 \cdot \frac{9}{64} = 64x^2 + 48x + 9$.

Сравнивая это выражение с исходным $64x^2 + kx + 9$, находим, что коэффициент при $x$ должен быть равен 48:

$k = 48$.

При этом значении $k$ неравенство принимает вид $64x^2 + 48x + 9 > 0$, или $(8x+3)^2 > 0$. Это неравенство верно для всех $x$, при которых $8x+3 \ne 0$, то есть $x \ne -\frac{3}{8}$.

Альтернативное решение через дискриминант:

Уравнение $64x^2 + kx + 9 = 0$ должно иметь один корень, значит, $D=0$.

$D = k^2 - 4 \cdot 64 \cdot 9 = k^2 - 2304$.

$D=0 \implies k^2 - 2304 = 0 \implies k^2 = 2304 \implies k = \pm 48$.

Корень уравнения: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{k}{2 \cdot 64} = -\frac{k}{128}$.

По условию, корень должен быть равен $-\frac{3}{8}$.

1. При $k=48$: $x = -\frac{48}{128} = -\frac{3 \cdot 16}{8 \cdot 16} = -\frac{3}{8}$. Это значение подходит.

2. При $k=-48$: $x = -\frac{-48}{128} = \frac{48}{128} = \frac{3}{8}$. Это значение не подходит.

Следовательно, единственное подходящее значение $k=48$.

Ответ: $k=48$.