Номер 98, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

98. Существуют ли x, при которых выражение:

а) $-x^2$;

б) $-3x^2$;

в) $(2-x)^2$;

г) $-(x+4)^2$

принимает положительное значение?

Для решения задачи проанализируем каждое выражение, чтобы определить, может ли оно принимать положительные значения.

Рассмотрим выражение $-x^2$. Требуется определить, существует ли такое значение $x$, при котором выполняется неравенство $-x^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

• Если $x = 0$, то $-x^2 = -0^2 = 0$. Это значение не является положительным.
• Если $x \ne 0$, то $x^2$ будет строго положительным числом ($x^2 > 0$). При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный, следовательно, $-x^2 < 0$. Это значение является отрицательным.

Таким образом, выражение $-x^2$ никогда не принимает положительных значений.

Ответ: нет, не существуют.

Рассмотрим выражение $-3x^2$. Требуется определить, существует ли такое значение $x$, при котором $-3x^2 > 0$.

Как и в предыдущем случае, $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Поскольку $3$ — положительное число, то и $3x^2 \ge 0$.

• Если $x = 0$, то $-3x^2 = -3 \cdot 0^2 = 0$. Это значение не является положительным.
• Если $x \ne 0$, то $x^2 > 0$ и $3x^2 > 0$. Умножая на $-1$, получаем $-3x^2 < 0$. Это значение является отрицательным.

Следовательно, выражение $-3x^2$ никогда не принимает положительных значений.

Ответ: нет, не существуют.

Рассмотрим выражение $(2-x)^2$. Требуется определить, существует ли такое значение $x$, при котором $(2-x)^2 > 0$.

Выражение $(2-x)^2$ является квадратом действительного числа $(2-x)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2-x)^2 \ge 0$.

Равенство нулю достигается только в том случае, когда основание степени равно нулю: $2 - x = 0$, что происходит при $x = 2$.

Для любого другого значения $x$, где $x \ne 2$, основание $(2-x)$ не будет равно нулю, и его квадрат будет строго положительным числом. Например, если взять $x=1$, то $(2-1)^2 = 1^2 = 1$, и $1 > 0$.

Таким образом, существуют значения $x$ (любые, кроме $x=2$), при которых данное выражение положительно.

Ответ: да, существуют (например, при $x=0$ выражение равно $4$).

Рассмотрим выражение $-(x+4)^2$. Требуется определить, существует ли такое значение $x$, при котором $-(x+4)^2 > 0$.

Выражение $(x+4)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x+4)^2 \ge 0$.

• Если $x = -4$, то $x+4 = 0$, и $-(x+4)^2 = -0^2 = 0$. Это значение не является положительным.
• Если $x \ne -4$, то $x+4 \ne 0$, и $(x+4)^2 > 0$. При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный: $-(x+4)^2 < 0$. Это значение является отрицательным.

Следовательно, выражение $-(x+4)^2$ никогда не принимает положительных значений.

Ответ: нет, не существуют.