Номер 99, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

99. Определите, является ли решением неравенства число, указанное в скобках:

а) $25x^2 - 10x + 1 < 0 \left(-1\frac{2}{7}\right)$;

б) $4x^2 + 12x + 9 > 0$ (-2,5);

в) $x^2 - x + 0.25 > 0$ $(\sqrt{3})$;

г) $x^2 + x + \frac{1}{4} < 0$ (-1,7).

Чтобы определить, является ли указанное число решением неравенства, нужно подставить это число в неравенство и проверить, выполняется ли оно.

а) $25x^2 - 10x + 1 < 0 \quad (-1\frac{2}{7})$

Подставим значение $x = -1\frac{2}{7}$ в левую часть неравенства. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $x = -1\frac{2}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{9}{7}$.

Заметим, что левая часть неравенства представляет собой полный квадрат: $25x^2 - 10x + 1 = (5x - 1)^2$. Неравенство можно переписать в виде $(5x - 1)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю ($(5x-1)^2 \ge 0$). Он никогда не может быть строго меньше нуля. Следовательно, данное неравенство не имеет решений ни при каком значении $x$. Таким образом, число $-1\frac{2}{7}$ не является решением этого неравенства.

Ответ: нет, не является.

б) $4x^2 + 12x + 9 > 0 \quad (-2,5)$

Подставим значение $x = -2,5$ в левую часть неравенства:

$4(-2,5)^2 + 12(-2,5) + 9 = 4(6,25) - 30 + 9 = 25 - 30 + 9 = -5 + 9 = 4$.

Получили неравенство $4 > 0$, которое является верным. Следовательно, число $-2,5$ является решением данного неравенства.

Можно также заметить, что $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$. Неравенство $(2x + 3)^2 > 0$ верно для всех $x$, кроме $x = -1,5$. Так как $-2,5 \neq -1,5$, то число $-2,5$ является решением.

Ответ: да, является.

в) $x^2 - x + 0,25 > 0 \quad (\sqrt{3})$

Подставим значение $x = \sqrt{3}$ в левую часть неравенства:

$(\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} + 0,25 = 3 - \sqrt{3} + 0,25 = 3,25 - \sqrt{3}$.

Нужно проверить, верно ли неравенство $3,25 - \sqrt{3} > 0$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, значит $1 < \sqrt{3} < 2$. Поскольку $3,25 > 2$, то разность $3,25 - \sqrt{3}$ точно положительна. Неравенство верно.

Также можно заметить, что левая часть $x^2 - x + 0,25$ является полным квадратом $(x - 0,5)^2$. Неравенство $(x - 0,5)^2 > 0$ верно для всех значений $x$, кроме $x=0,5$. Так как $\sqrt{3} \neq 0,5$, число $\sqrt{3}$ является решением.

Ответ: да, является.

г) $x^2 + x + \frac{1}{4} < 0 \quad (-1,7)$

Левая часть неравенства $x^2 + x + \frac{1}{4}$ представляет собой полный квадрат суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (x + \frac{1}{2})^2$.

Неравенство можно переписать в виде $(x + \frac{1}{2})^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x + \frac{1}{2})^2 \ge 0$ при любом $x$. Следовательно, неравенство $(x + \frac{1}{2})^2 < 0$ не имеет решений. Таким образом, число $-1,7$ не является решением этого неравенства.

Ответ: нет, не является.