Номер 103, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

103. Решите неравенство:

а) $4x^2 + 20x + 25 < 0$;

б) $9x^2 - 36x + 36 > 0$;

в) $49x^2 + 14x + 1 > 0$;

г) $25x^2 - 10x + 1 < 0$;

д) $2x^2 + 3x + 1\frac{1}{8} > 0$;

е) $9x^2 - 10x + 2\frac{7}{9} < 0$.

а) $4x^2 + 20x + 25 < 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = 4x^2 = (2x)^2$, $b^2 = 25 = 5^2$, и $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$(2x + 5)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, он всегда больше или равен нулю. То есть, $(2x + 5)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Следовательно, неравенство $(2x + 5)^2 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б) $9x^2 - 36x + 36 > 0$

Разделим обе части неравенства на 9 (так как 9 > 0, знак неравенства не меняется):

$x^2 - 4x + 4 > 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=x$, $b=2$, поэтому $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа больше или равен нулю. Равенство нулю достигается, когда выражение в скобках равно нулю: $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Во всех остальных случаях $(x - 2)^2$ будет строго больше нуля.

Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

в) $49x^2 + 14x + 1 > 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат суммы: $49x^2 = (7x)^2$, $1 = 1^2$, и $14x = 2 \cdot 7x \cdot 1$.

Неравенство можно переписать как:

$(7x + 1)^2 > 0$

Выражение $(7x + 1)^2$ равно нулю при $7x + 1 = 0$, то есть при $x = -1/7$. Для всех остальных значений $x$ выражение $(7x + 1)^2$ строго положительно.

Следовательно, решение неравенства — это все действительные числа, кроме $x = -1/7$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/7) \cup (-1/7; +\infty)$.

г) $25x^2 - 10x + 1 < 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом разности: $25x^2 = (5x)^2$, $1 = 1^2$, и $-10x = -2 \cdot 5x \cdot 1$.

Перепишем неравенство в виде:

$(5x - 1)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Выражение $(5x - 1)^2$ всегда больше или равно нулю.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

д) $2x^2 + 3x + 1\frac{1}{8} > 0$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.

Неравенство примет вид:

$2x^2 + 3x + \frac{9}{8} > 0$

Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от дроби (знак неравенства не изменится):

$16x^2 + 24x + 9 > 0$

Левая часть является полным квадратом суммы: $16x^2 = (4x)^2$, $9 = 3^2$, и $24x = 2 \cdot 4x \cdot 3$.

Неравенство можно записать как:

$(4x + 3)^2 > 0$

Это выражение равно нулю при $4x + 3 = 0$, то есть при $x = -3/4$. Для всех остальных значений $x$ выражение $(4x + 3)^2$ строго положительно.

Решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x = -3/4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3/4) \cup (-3/4; +\infty)$.

е) $9x^2 - 10x + 2\frac{7}{9} < 0$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.

Неравенство примет вид:

$9x^2 - 10x + \frac{25}{9} < 0$

Умножим обе части неравенства на 9, чтобы избавиться от дроби:

$81x^2 - 90x + 25 < 0$

Левая часть является полным квадратом разности: $81x^2 = (9x)^2$, $25 = 5^2$, и $-90x = -2 \cdot 9x \cdot 5$.

Неравенство можно записать как:

$(9x - 5)^2 < 0$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Выражение $(9x - 5)^2 \ge 0$ для любых $x$.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.