Номер 110, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

110. a) $0.2x^2 - x + 100 > 0$;

б) $1.7x^2 + x + 10 < 0$;

в) $\frac{x^2}{5} - \frac{3x}{7} + 8 < 0$;

г) $\frac{2x^2 - x}{3} - 12 > 0$.

a)

Чтобы решить неравенство $0,2x^2 - x + 100 > 0$, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 0,2x^2 - x + 100$. Найдем нули этой функции, решив уравнение $0,2x^2 - x + 100 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 0,2 \cdot 100 = 1 - 0,8 \cdot 100 = 1 - 80 = -79$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней. Старший коэффициент $a = 0,2$ положителен ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх, и вся парабола расположена выше оси Ox. Следовательно, выражение $0,2x^2 - x + 100$ положительно при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б)

Чтобы решить неравенство $1,7x^2 + x + 10 < 0$, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 1,7x^2 + x + 10$. Найдем нули этой функции, решив уравнение $1,7x^2 + x + 10 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1,7 \cdot 10 = 1 - 68 = -67$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1,7 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что выражение $1,7x^2 + x + 10$ всегда принимает положительные значения. Таким образом, неравенство $1,7x^2 + x + 10 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в)

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2}{5} - \frac{3x}{7} + 8 < 0$.

Для удобства избавимся от дробных коэффициентов, умножив обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей 5 и 7, то есть на 35. Так как $35 > 0$, знак неравенства не изменится.

$35 \cdot \left(\frac{x^2}{5} - \frac{3x}{7} + 8\right) < 35 \cdot 0$

$7x^2 - 15x + 280 < 0$.

Теперь решим полученное неравенство. Найдем корни уравнения $7x^2 - 15x + 280 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 280 = 225 - 7840 = -7615$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 7 > 0$, парабола $y = 7x^2 - 15x + 280$ полностью лежит выше оси абсцисс. Это значит, что выражение $7x^2 - 15x + 280$ всегда положительно. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г)

Рассмотрим неравенство $\frac{2x^2 - x}{3} - 12 > 0$.

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при этом не изменится.

$2x^2 - x - 36 > 0$.

Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - x - 36 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) = 1 + 288 = 289$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$.

$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4,5$.

Старший коэффициент $a=2 > 0$, значит, ветви параболы $y = 2x^2 - x - 36$ направлены вверх. Неравенство $2x^2 - x - 36 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями, то есть $x < -4$ или $x > 4,5$.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (4,5; +\infty)$.