Номер 107, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

107. С помощью графика квадратичной функции объясните, почему неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ при $a > 0$ и $D < 0$ не имеет решений.

Для того чтобы с помощью графика объяснить, почему данное неравенство не имеет решений, рассмотрим свойства квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ при заданных условиях. Решить неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ — это то же самое, что найти такие значения $x$, при которых график функции $y(x)$ находится ниже оси абсцисс (оси Ox).

Проанализируем каждое из условий:

1. Условие $a > 0$. Коэффициент $a$ при $x^2$ определяет направление ветвей параболы, которая является графиком квадратичной функции. Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх.

2. Условие $D < 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = b^2 - 4ac$ определяет количество действительных корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Эти корни являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью Ox. Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не имеет ни одной общей точки с осью Ox, то есть не пересекает ее и не касается.

Теперь объединим эти два факта. Мы имеем параболу, у которой ветви направлены вверх, и которая не пересекает ось Ox. Единственное возможное расположение такой параболы на координатной плоскости — это расположение целиком в верхней полуплоскости, то есть полностью над осью Ox.

Таким образом, для любого действительного значения $x$ значение функции $y = ax^2 + bx + c$ будет строго положительным ($y > 0$). Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ требует найти такие значения $x$, при которых $y < 0$. Поскольку, как мы установили, график функции полностью лежит выше оси Ox, таких значений $x$ не существует.

Ответ: При $a > 0$ ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх. При $D < 0$ эта парабола не пересекает ось абсцисс. Следовательно, весь график функции расположен над осью абсцисс, а это означает, что для любого $x$ значение выражения $ax^2 + bx + c$ всегда положительно. Поэтому неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ не имеет решений.