Номер 112, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

112. Исследуем. Найдите все значения $m$, при каждом из которых неравенство верно при любом значении $x$:

а) $2x^2 - x + m > 0$;

б) $3x^2 + 2x + m > 0$.

а)

Для того чтобы неравенство $2x^2 - x + m > 0$ было верным для любого значения $x$, необходимо, чтобы парабола, являющаяся графиком функции $y = 2x^2 - x + m$, полностью располагалась выше оси абсцисс. Это возможно при выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Это определяется знаком коэффициента при $x^2$. В данном случае коэффициент $a = 2$, он положительный ($a > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс, то есть квадратное уравнение $2x^2 - x + m = 0$ не должно иметь действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ меньше нуля.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot m = 1 - 8m$

Теперь решим неравенство $D < 0$ относительно $m$:

$1 - 8m < 0$

$1 < 8m$

$m > \frac{1}{8}$

Таким образом, при $m > \frac{1}{8}$ неравенство будет верным для любого значения $x$.

Ответ: $m > \frac{1}{8}$

б)

Для неравенства $3x^2 + 2x + m > 0$ применим те же рассуждения. Графиком функции $y = 3x^2 + 2x + m$ является парабола.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, парабола не должна иметь общих точек с осью $Ox$. Для этого дискриминант соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 2x + m = 0$ должен быть отрицательным.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot m = 4 - 12m$

Решим неравенство $D < 0$:

$4 - 12m < 0$

$4 < 12m$

$m > \frac{4}{12}$

$m > \frac{1}{3}$

Следовательно, при $m > \frac{1}{3}$ исходное неравенство справедливо для любого значения $x$.

Ответ: $m > \frac{1}{3}$