Номер 120, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

120. a) $5(x - 1)^2 > 5(1 - x) - x;$

б) $2(x + 1)^2 < 2(2x + 1) - (x - 1)(x + 1);$

в) $(x - 1)^2 + (x - 2)^2 < 1;$

г) $(x + 3)(x - 2) > 3x + 10 - (x + 2)^2.$

а) $5(x - 1)^2 > 5(1 - x) - x$
Раскроем скобки и упростим неравенство. Для начала раскроем квадрат разности в левой части и скобки в правой части:
$5(x^2 - 2x + 1) > 5 - 5x - x$
$5x^2 - 10x + 5 > 5 - 6x$
Перенесём все члены в левую часть неравенства:
$5x^2 - 10x + 5 - 5 + 6x > 0$
$5x^2 - 4x > 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(5x - 4) > 0$
Найдём корни соответствующего уравнения $x(5x - 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{4}{5}$.
Это неравенство для параболы $y = 5x^2 - 4x$, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут положительными за пределами корней.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.

б) $2(x + 1)^2 < 2(2x + 1) - (x - 1)(x + 1)$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и разности квадратов:
$2(x^2 + 2x + 1) < 4x + 2 - (x^2 - 1)$
$2x^2 + 4x + 2 < 4x + 2 - x^2 + 1$
Перенесём все члены в левую часть неравенства:
$2x^2 + 4x + 2 - 4x - 2 + x^2 - 1 < 0$
Приведём подобные слагаемые:
$3x^2 - 1 < 0$
$3x^2 < 1$
$x^2 < \frac{1}{3}$
Это неравенство равносильно системе:
$-\sqrt{\frac{1}{3}} < x < \sqrt{\frac{1}{3}}$
Упростим корни: $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, решение: $-\frac{\sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$.

в) $(x - 1)^2 + (x - 2)^2 < 1$
Раскроем квадраты разности:
$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 4x + 4) < 1$
Приведём подобные слагаемые:
$2x^2 - 6x + 5 < 1$
Перенесём 1 в левую часть:
$2x^2 - 6x + 4 < 0$
Разделим обе части неравенства на 2:
$x^2 - 3x + 2 < 0$
Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 - 3x + 2$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции будут отрицательными между корнями.
Следовательно, $1 < x < 2$.
Ответ: $x \in (1; 2)$.

г) $(x + 3)(x - 2) > 3x + 10 - (x + 2)^2$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$x^2 - 2x + 3x - 6 > 3x + 10 - (x^2 + 4x + 4)$
$x^2 + x - 6 > 3x + 10 - x^2 - 4x - 4$
$x^2 + x - 6 > -x^2 - x + 6$
Перенесём все члены в левую часть:
$x^2 + x - 6 + x^2 + x - 6 > 0$
$2x^2 + 2x - 12 > 0$
Разделим обе части на 2:
$x^2 + x - 6 > 0$
Найдём корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх. Значения функции будут положительными за пределами корней.
Таким образом, решение: $x < -3$ или $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.