Номер 125, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

125. а) В чём заключается метод интервалов решения неравенств? К неравенствам какого вида он применим?

б) Равносильны ли неравенства $x > 2$ и $x - 2 > 0$?

в) Верно ли, что если $x > 1$, то $x - 1 > 0$?

г) Верно ли, что если $x < 1$, то $x - 1 < 0$?

а) В чём заключается метод интервалов решения неравенств? К неравенствам какого вида он применим?

Метод интервалов (или метод промежутков) — это алгоритм для решения неравенств, который основан на свойстве непрерывных функций сохранять свой знак на интервалах между точками, где функция равна нулю или не определена.

Алгоритм решения неравенства методом интервалов:

1. Привести неравенство к виду $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$.
2. Найти область определения функции $f(x)$.
3. Найти нули функции (точки, в которых $f(x) = 0$) и точки разрыва (точки, в которых функция $f(x)$ не определена). Эти точки разбивают числовую ось на интервалы.
4. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно выбрать любую "пробную" точку из интервала и вычислить в ней значение функции.
5. Выбрать интервалы, знаки на которых соответствуют решаемому неравенству.
6. Записать ответ, учитывая, включаются ли граничные точки в решение. Точки включаются для нестрогих неравенств ($\ge$, $\le$), если они входят в область определения функции. Нули знаменателя (точки разрыва) всегда исключаются.

Метод интервалов применим к неравенствам вида $f(x) \vee 0$ (где $\vee$ — один из знаков $>, <, \ge, \le$), в которых функция $f(x)$ непрерывна на каждом интервале, на которые её область определения разбивается её нулями. Наиболее часто этот метод используется для решения рациональных неравенств вида $\frac{P(x)}{Q(x)} \vee 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.

Ответ: Метод интервалов заключается в нахождении нулей и точек разрыва функции, определении знака функции на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую ось, и выборе подходящих интервалов. Метод применим в первую очередь к рациональным неравенствам.

б) Равносильны ли неравенства $x > 2$ и $x - 2 > 0$?

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают.

Решением первого неравенства $x > 2$ является числовой промежуток $(2; +\infty)$.

Решим второе неравенство $x - 2 > 0$. Это линейное неравенство. Для его решения можно прибавить к обеим частям одно и то же число. Прибавим 2 к обеим частям:

$x - 2 + 2 > 0 + 2$

$x > 2$

Решением второго неравенства также является промежуток $(2; +\infty)$.

Так как множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными.

Ответ: Да, равносильны.

в) Верно ли, что если $x > 1$, то $x - 1 > 0$?

Да, это утверждение верно. Оно основано на одном из основных свойств числовых неравенств: если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство того же знака.

Возьмем неравенство $x > 1$ и вычтем из обеих его частей число 1:

$x - 1 > 1 - 1$

$x - 1 > 0$

Таким образом, из условия $x > 1$ непосредственно следует, что $x - 1 > 0$.

Ответ: Да, верно.

г) Верно ли, что если $x < 1$, то $x - 1 < 0$?

Да, это утверждение также верно. Оно основано на том же свойстве числовых неравенств, что и в предыдущем пункте.

Возьмем неравенство $x < 1$ и вычтем из обеих его частей число 1:

$x - 1 < 1 - 1$

$x - 1 < 0$

Следовательно, из условия $x < 1$ вытекает, что $x - 1 < 0$.

Ответ: Да, верно.