Номер 122, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

122. а) $\frac{x-1}{3} + 0,2x^2 < 1;$

б) $x^2 - \frac{7 - 2x}{4} > 0,2;$

в) $\frac{(x-1)(x-2)}{15} < \frac{x+1}{5} - \frac{x}{3};$

г) $\frac{12 - x^2}{4} - \frac{x}{3} < \frac{(x-3)^2}{12}.$

а) Решим неравенство $\frac{x-1}{3} + 0,2x^2 < 1$.

Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Неравенство примет вид:

$\frac{x-1}{3} + \frac{1}{5}x^2 < 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\frac{x-1}{3} + \frac{x^2}{5} - 1 < 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 15. Так как 15 > 0, знак неравенства не изменится.

$15 \cdot \left(\frac{x-1}{3}\right) + 15 \cdot \left(\frac{x^2}{5}\right) - 15 \cdot 1 < 0$

$5(x-1) + 3x^2 - 15 < 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5x - 5 + 3x^2 - 15 < 0$

$3x^2 + 5x - 20 < 0$

Мы получили квадратичное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 5x - 20 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 25 + 240 = 265$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{265}}{6}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{265}}{6}$ и $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{265}}{6}$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 5x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$). Следовательно, значения функции меньше нуля ($y < 0$) находятся между корнями.

Решением неравенства является интервал $(x_1, x_2)$.

Ответ: $x \in \left(\frac{-5 - \sqrt{265}}{6}; \frac{-5 + \sqrt{265}}{6}\right)$.

б) Решим неравенство $x^2 - \frac{x^2 - 2x}{4} > 0,2$.

Представим $0,2$ в виде дроби $\frac{1}{5}$ и умножим все неравенство на наименьший общий знаменатель 20:

$20 \cdot x^2 - 20 \cdot \frac{x^2 - 2x}{4} > 20 \cdot \frac{1}{5}$

$20x^2 - 5(x^2 - 2x) > 4$

Раскроем скобки и приведем подобные:

$20x^2 - 5x^2 + 10x > 4$

$15x^2 + 10x - 4 > 0$

Решим квадратное уравнение $15x^2 + 10x - 4 = 0$, чтобы найти точки пересечения параболы с осью Ox.

Дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-4) = 100 + 240 = 340$.

$\sqrt{D} = \sqrt{340} = \sqrt{4 \cdot 85} = 2\sqrt{85}$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{85}}{2 \cdot 15} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{85}}{30} = \frac{-5 \pm \sqrt{85}}{15}$.

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{85}}{15}$ и $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{85}}{15}$.

Ветви параболы $y = 15x^2 + 10x - 4$ направлены вверх ($a=15 > 0$). Значения функции больше нуля ($y > 0$) находятся за пределами корней.

Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{-5 - \sqrt{85}}{15}\right) \cup \left(\frac{-5 + \sqrt{85}}{15}; +\infty\right)$.

в) Решим неравенство $\frac{(x-1)(x-2)}{15} < \frac{x+1}{5} - \frac{x}{3}$.

Умножим обе части на общий знаменатель 15:

$15 \cdot \frac{(x-1)(x-2)}{15} < 15 \cdot \frac{x+1}{5} - 15 \cdot \frac{x}{3}$

$(x-1)(x-2) < 3(x+1) - 5x$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2x - x + 2 < 3x + 3 - 5x$

$x^2 - 3x + 2 < -2x + 3$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 3x + 2x + 2 - 3 < 0$

$x^2 - x - 1 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 - x - 1$ направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $x \in \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)$.

г) Решим неравенство $\frac{12-x^2}{4} - \frac{x}{3} < \frac{(x-3)^2}{12}$.

Умножим обе части на общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{12-x^2}{4} - 12 \cdot \frac{x}{3} < 12 \cdot \frac{(x-3)^2}{12}$

$3(12-x^2) - 4x < (x-3)^2$

Раскроем скобки:

$36 - 3x^2 - 4x < x^2 - 6x + 9$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить положительный коэффициент при $x^2$:

$0 < x^2 + 3x^2 - 6x + 4x + 9 - 36$

$0 < 4x^2 - 2x - 27$, что эквивалентно $4x^2 - 2x - 27 > 0$.

Найдем корни уравнения $4x^2 - 2x - 27 = 0$.

Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-27) = 4 + 432 = 436$.

$\sqrt{D} = \sqrt{436} = \sqrt{4 \cdot 109} = 2\sqrt{109}$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{109}}{2 \cdot 4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{109}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{109}}{4}$.

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{109}}{4}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{109}}{4}$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 2x - 27$ направлены вверх ($a=4 > 0$), поэтому неравенство $y > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{109}}{4}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{109}}{4}; +\infty\right)$.