Номер 132, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

132. На координатной оси отмечены числа 1, 2 и 3. Определите знаки каждого двучлена $x-1$, $x-2$, $x-3$ и знак выражения $(x-1)(x-2)(x-3)$ на интервалах $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.

Для определения знаков двучленов $x-1$, $x-2$, $x-3$ и всего выражения $(x-1)(x-2)(x-3)$ воспользуемся методом интервалов. Корни выражения, то есть значения $x$, при которых оно равно нулю, это $x=1$, $x=2$ и $x=3$. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала. Рассмотрим знак каждого множителя и итогового произведения в каждом из них.

$(-\infty; 1)$
На этом интервале значение переменной $x < 1$.
Знак двучлена $x-1$: так как $x < 1$, то $x-1 < 0$ (минус).
Знак двучлена $x-2$: так как $x < 1$, а значит и $x < 2$, то $x-2 < 0$ (минус).
Знак двучлена $x-3$: так как $x < 1$, а значит и $x < 3$, то $x-3 < 0$ (минус).
Знак всего выражения $(x-1)(x-2)(x-3)$ определяется произведением знаков: $(-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.
Ответ: На интервале $(-\infty; 1)$ двучлены $x-1$, $x-2$, $x-3$ отрицательны, а выражение $(x-1)(x-2)(x-3)$ отрицательно.

$(1; 2)$
На этом интервале значение переменной $1 < x < 2$.
Знак двучлена $x-1$: так как $x > 1$, то $x-1 > 0$ (плюс).
Знак двучлена $x-2$: так как $x < 2$, то $x-2 < 0$ (минус).
Знак двучлена $x-3$: так как $x < 2$, а значит и $x < 3$, то $x-3 < 0$ (минус).
Знак всего выражения $(x-1)(x-2)(x-3)$ определяется произведением знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (-) = (+)$.
Ответ: На интервале $(1; 2)$ двучлен $x-1$ положителен, двучлены $x-2$ и $x-3$ отрицательны, а выражение $(x-1)(x-2)(x-3)$ положительно.

$(2; 3)$
На этом интервале значение переменной $2 < x < 3$.
Знак двучлена $x-1$: так как $x > 2$, а значит и $x > 1$, то $x-1 > 0$ (плюс).
Знак двучлена $x-2$: так как $x > 2$, то $x-2 > 0$ (плюс).
Знак двучлена $x-3$: так как $x < 3$, то $x-3 < 0$ (минус).
Знак всего выражения $(x-1)(x-2)(x-3)$ определяется произведением знаков: $(+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$.
Ответ: На интервале $(2; 3)$ двучлены $x-1$ и $x-2$ положительны, двучлен $x-3$ отрицателен, а выражение $(x-1)(x-2)(x-3)$ отрицательно.

$(3; +\infty)$
На этом интервале значение переменной $x > 3$.
Знак двучлена $x-1$: так как $x > 3$, а значит и $x > 1$, то $x-1 > 0$ (плюс).
Знак двучлена $x-2$: так как $x > 3$, а значит и $x > 2$, то $x-2 > 0$ (плюс).
Знак двучлена $x-3$: так как $x > 3$, то $x-3 > 0$ (плюс).
Знак всего выражения $(x-1)(x-2)(x-3)$ определяется произведением знаков: $(+) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$.
Ответ: На интервале $(3; +\infty)$ все двучлены $x-1$, $x-2$, $x-3$ положительны, а выражение $(x-1)(x-2)(x-3)$ положительно.