Номер 134, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство методом интервалов (134–140):

134. а) $(x - 1)(x - 3)(x - 5) > 0;$

б) $(x - 1)(x - 2)(x - 4) < 0;$

в) $(x + 1)(x - 1)(x - 2) > 0;$

г) $(x + 2)(x + 1)(x - 3) < 0.$

а) Решим неравенство $(x - 1)(x - 3)(x - 5) > 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули функции $f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)$. Для этого приравняем левую часть к нулю:
$(x - 1)(x - 3)(x - 5) = 0$
Корнями уравнения являются $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, $x_3 = 5$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$, $(3; 5)$ и $(5; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ в каждом интервале.
- В интервале $(5; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=6$. Получим $(6-1)(6-3)(6-5) = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15 > 0$. Знак "+".
- В интервале $(3; 5)$ возьмем пробную точку $x=4$. Получим $(4-1)(4-3)(4-5) = 3 \cdot 1 \cdot (-1) = -3 < 0$. Знак "-".
- В интервале $(1; 3)$ возьмем пробную точку $x=2$. Получим $(2-1)(2-3)(2-5) = 1 \cdot (-1) \cdot (-3) = 3 > 0$. Знак "+".
- В интервале $(-\infty; 1)$ возьмем пробную точку $x=0$. Получим $(0-1)(0-3)(0-5) = (-1) \cdot (-3) \cdot (-5) = -15 < 0$. Знак "-".
4. Поскольку нас интересуют значения $x$, при которых выражение больше нуля, выбираем интервалы со знаком "+".
Это интервалы $(1; 3)$ и $(5; +\infty)$.
Ответ: $x \in (1; 3) \cup (5; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x - 1)(x - 2)(x - 4) < 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули функции $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 4)$.
$(x - 1)(x - 2)(x - 4) = 0$
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 4$.
2. Отметим выколотые точки $1, 2, 4$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$.
3. Определим знаки выражения в каждом интервале. Так как все множители имеют первую степень, знаки будут чередоваться. В крайнем правом интервале $(4; +\infty)$ при $x=5$ имеем $(5-1)(5-2)(5-4) > 0$, значит знак "+".
Двигаясь справа налево, знаки чередуются:
- $(4; +\infty)$: +
- $(2; 4)$: -
- $(1; 2)$: +
- $(-\infty; 1)$: -
4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Выбираем интервалы со знаком "-".
Это интервалы $(-\infty; 1)$ и $(2; 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 4)$.

в) Решим неравенство $(x + 1)(x - 1)(x - 2) > 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули функции $f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)$.
$(x + 1)(x - 1)(x - 2) = 0$
Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$.
2. Отметим выколотые точки $-1, 1, 2$ на числовой прямой. Они образуют интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.
3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(2; +\infty)$ при $x=3$ выражение $(3+1)(3-1)(3-2)$ положительно. Знаки чередуются:
- $(2; +\infty)$: +
- $(1; 2)$: -
- $(-1; 1)$: +
- $(-\infty; -1)$: -
4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше нуля. Выбираем интервалы со знаком "+".
Это интервалы $(-1; 1)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-1; 1) \cup (2; +\infty)$.

г) Решим неравенство $(x + 2)(x + 1)(x - 3) < 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули функции $f(x) = (x + 2)(x + 1)(x - 3)$.
$(x + 2)(x + 1)(x - 3) = 0$
Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 3$.
2. Отметим выколотые точки $-2, -1, 3$ на числовой прямой. Получаем интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 3)$ и $(3; +\infty)$.
3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ при $x=4$ выражение $(4+2)(4+1)(4-3)$ положительно. Знаки чередуются:
- $(3; +\infty)$: +
- $(-1; 3)$: -
- $(-2; -1)$: +
- $(-\infty; -2)$: -
4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Выбираем интервалы со знаком "-".
Это интервалы $(-\infty; -2)$ и $(-1; 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 3)$.