Страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

113. Как решают неравенства, левые и правые части которых многочлены?

Для решения неравенств, в которых левая и правая части являются многочленами, применяется метод интервалов. Этот метод основан на свойстве непрерывности многочлена: многочлен может изменить свой знак только в тех точках, где его значение равно нулю. Алгоритм решения следующий:

1. Приведение неравенства к стандартному виду

Необходимо перенести все слагаемые в одну часть неравенства (как правило, в левую), чтобы в другой части остался ноль. В результате неравенство примет один из следующих видов: $P(x) > 0$, $P(x) < 0$, $P(x) \geq 0$ или $P(x) \leq 0$, где $P(x)$ — многочлен.

2. Нахождение корней многочлена

Далее нужно найти все корни многочлена $P(x)$, решив уравнение $P(x) = 0$. Эти корни являются "граничными" точками, которые разделяют числовую прямую на интервалы.

3. Разложение многочлена на множители

Для удобства анализа знаков рекомендуется разложить многочлен $P(x)$ на множители, например, вида $(x-x_1)^{k_1}(x-x_2)^{k_2}...$, где $x_1, x_2, ...$ — корни, а $k_1, k_2, ...$ — их кратности.

4. Анализ знаков на числовой прямой (собственно метод интервалов)

Найденные корни отмечаются на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы, в каждом из которых многочлен $P(x)$ сохраняет свой знак. Чтобы определить этот знак, можно:

- Взять любую "пробную" точку из каждого интервала и подставить ее в $P(x)$. Знак результата и будет знаком всего интервала.

- Определить знак в крайнем правом интервале (он совпадает со знаком старшего коэффициента многочлена) и затем, двигаясь справа налево, менять знак при переходе через корень нечетной кратности и сохранять знак при переходе через корень четной кратности.

5. Запись ответа

В зависимости от знака исходного неравенства ($>, <, \geq, \leq$), выбираются подходящие интервалы. Если неравенство строгое ($>$ или <), граничные точки (корни) не включаются в решение, и для записи интервалов используются круглые скобки. Если неравенство нестрогое ($\geq$ или $\leq$), корни включаются в решение, и используются квадратные скобки.

Пример:

Решить неравенство: $x^3 - 2x^2 > 5x - 6$.

1. Приводим к стандартному виду:

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 > 0$

Рассмотрим многочлен $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$.

2. Находим корни многочлена $P(x)=0$:

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$

Методом подбора находим, что $x=1$ является корнем: $1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$.

Разложим многочлен на множители, разделив его на $(x-1)$:

$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x-1) = x^2 - x - 6$

Теперь решаем квадратное уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. Его корни $x = 3$ и $x = -2$.

Таким образом, $P(x) = (x-1)(x-3)(x+2)$. Корни многочлена: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = 3$.

3. Анализируем знаки на числовой прямой:

Отмечаем точки -2, 1, 3 на оси. Они создают четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определяем знаки $P(x)$ в интервалах. Так как все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки будут чередоваться. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ знак будет `+` (например, при $x=4$, $P(4)=(4-1)(4-3)(4+2) > 0$).

Двигаясь справа налево, получаем следующую расстановку знаков: `---` $(-2)$ `+++` $(1)$ `---` $(3)$ `+++`.

4. Записываем ответ:

Нас интересуют интервалы, где $P(x) > 0$. Это интервалы со знаком `+`. Поскольку неравенство строгое, концы интервалов в решение не входят.

Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (3; +\infty)$.

114. Являются ли равносильными неравенства:

а) $3 - x + x^2 > 0$ и $x^2 > x - 3$;

б) $x^2 - 5 < 3x$ и $4x^2 - 12x < 20$;

в) $\frac{x^2 - 7x}{2} < 4$ и $3x^2 - 21x - 24 < 0$;

г) $x^2 + 5x - 7 > 0$ и $0,01x^2 - 0,07 > -\frac{1}{20}x$?

а) $3 - x + x^2 > 0$ и $x^2 > x - 3$

Два неравенства являются равносильными, если множества их решений совпадают.

Рассмотрим первое неравенство $3 - x + x^2 > 0$. Перепишем его в стандартном виде: $x^2 - x + 3 > 0$. Это квадратное неравенство. Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x + 3 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), парабола $y = x^2 - x + 3$ целиком лежит выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $x^2 - x + 3 > 0$ выполняется для любых действительных значений $x$. Множество решений: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство $x^2 > x - 3$. Перенеся все члены в левую часть, получим $x^2 - x + 3 > 0$. Это неравенство в точности совпадает с первым, следовательно, множество его решений также $(-\infty; +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными.
Ответ: да, являются.

б) $x^2 - 5 < 3x$ и $4x^2 - 12x < 20$

Преобразуем первое неравенство, перенеся все члены в левую часть: $x^2 - 3x - 5 < 0$.

Преобразуем второе неравенство. Разделим обе его части на положительное число 4 (это равносильное преобразование): $x^2 - 3x < 5$. Перенесем 5 в левую часть: $x^2 - 3x - 5 < 0$.

Поскольку оба неравенства приводятся к одному и тому же виду $x^2 - 3x - 5 < 0$ с помощью равносильных преобразований, их множества решений совпадают. Следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: да, являются.

в) $\frac{x^2 - 7x}{2} < 4$ и $3x^2 - 21x - 24 < 0$

Преобразуем первое неравенство. Умножим обе части на 2 (положительное число), сохраняя знак неравенства: $x^2 - 7x < 8$. Перенесем 8 в левую часть: $x^2 - 7x - 8 < 0$.

Преобразуем второе неравенство. Разделим обе части на 3 (положительное число): $x^2 - 7x - 8 < 0$.

Оба неравенства приводятся к одному и тому же виду $x^2 - 7x - 8 < 0$. Следовательно, они равносильны.
Ответ: да, являются.

г) $x^2 + 5x - 7 > 0$ и $0.01x^2 - 0.07 > -\frac{1}{20}x$

Первое неравенство уже записано в стандартном виде: $x^2 + 5x - 7 > 0$.

Преобразуем второе неравенство. Заметим, что $\frac{1}{20} = 0.05$. Неравенство принимает вид: $0.01x^2 - 0.07 > -0.05x$. Умножим обе части на 100 (положительное число), чтобы избавиться от дробей: $x^2 - 7 > -5x$. Перенесем все члены в левую часть: $x^2 + 5x - 7 > 0$.

Оба неравенства приводятся к одному и тому же виду $x^2 + 5x - 7 > 0$. Следовательно, они равносильны.
Ответ: да, являются.

115. Приведите неравенство:

а) $7 > 3x - 5x^2$;

б) $2x > -3 + 2x^2$;

в) $13x^2 - 5 < x$;

г) $4x + 5 > x^2$

к виду $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c < 0$.

Чтобы привести неравенство к виду $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c < 0$, необходимо перенести все его члены в одну часть, оставив в другой части ноль, а затем расположить их в порядке убывания степеней переменной $x$.

Исходное неравенство: $7 > 3x - 5x^2$.

Перенесем все члены из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные. Знак неравенства при этом не меняется.

$7 - 3x + 5x^2 > 0$

Теперь расположим члены в стандартном порядке (по убыванию степеней $x$).

$5x^2 - 3x + 7 > 0$

Полученное неравенство соответствует виду $ax^2 + bx + c > 0$.

Ответ: $5x^2 - 3x + 7 > 0$

Исходное неравенство: $2x > -3 + 2x^2$.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным. Для этого вычтем $2x$ из обеих частей неравенства.

$0 > -3 + 2x^2 - 2x$

Расположим члены в правой части в стандартном порядке.

$0 > 2x^2 - 2x - 3$

Чтобы записать неравенство в стандартном виде, поменяем местами левую и правую части, изменив при этом знак неравенства с ">" на "<".

$2x^2 - 2x - 3 < 0$

Полученное неравенство соответствует виду $ax^2 + bx + c < 0$.

Ответ: $2x^2 - 2x - 3 < 0$

Исходное неравенство: $13x^2 - 5 < x$.

Перенесем член $x$ из правой части в левую с противоположным знаком.

$13x^2 - 5 - x < 0$

Расположим члены в стандартном порядке.

$13x^2 - x - 5 < 0$

Полученное неравенство соответствует виду $ax^2 + bx + c < 0$.

Ответ: $13x^2 - x - 5 < 0$

Исходное неравенство: $4x + 5 > x^2$.

Перенесем все члены из левой части в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным.

$0 > x^2 - (4x + 5)$

$0 > x^2 - 4x - 5$

Запишем неравенство в стандартном виде, поменяв местами левую и правую части и изменив знак неравенства на противоположный.

$x^2 - 4x - 5 < 0$

Полученное неравенство соответствует виду $ax^2 + bx + c < 0$.

Ответ: $x^2 - 4x - 5 < 0$

116. Приведите неравенство:

a) $10x - x^2 > 1$;

б) $4x^2 - 6 > 9$;

в) $7 < 14x + 2x^2$;

г) $5x^2 > 13x - 8$

к виду $ax^2 + bx + c < 0$.

а) Чтобы привести неравенство $10x - x^2 > 1$ к виду $ax^2 + bx + c < 0$, нужно перенести все члены в одну сторону так, чтобы с другой стороны остался ноль, а знак неравенства стал «меньше». Для этого перенесем все слагаемые из левой части в правую, меняя их знаки на противоположные:
$0 > 1 - (10x - x^2)$
$0 > 1 - 10x + x^2$
Теперь запишем это неравенство, поменяв местами левую и правую части и, соответственно, изменив знак неравенства с «больше» на «меньше»:
$x^2 - 10x + 1 < 0$
Ответ: $x^2 - 10x + 1 < 0$

б) Рассмотрим неравенство $4x^2 - 6 > 9$. Сначала перенесем все члены в левую часть:
$4x^2 - 6 - 9 > 0$
$4x^2 - 15 > 0$
Мы получили неравенство со знаком «больше». Чтобы получить требуемый вид со знаком «меньше», умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-1 \cdot (4x^2 - 15) < -1 \cdot 0$
$-4x^2 + 15 < 0$
Ответ: $-4x^2 + 15 < 0$

в) Дано неравенство $7 < 14x + 2x^2$. Чтобы получить ноль в одной из частей, перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки:
$7 - (14x + 2x^2) < 0$
$7 - 14x - 2x^2 < 0$
Теперь расположим слагаемые в стандартном порядке (по убыванию степеней переменной $x$):
$-2x^2 - 14x + 7 < 0$
Неравенство уже имеет требуемый вид.
Ответ: $-2x^2 - 14x + 7 < 0$

г) Рассмотрим неравенство $5x^2 > 13x - 8$. Перенесем все члены из правой части в левую:
$5x^2 - (13x - 8) > 0$
$5x^2 - 13x + 8 > 0$
Мы получили неравенство со знаком «больше». Чтобы изменить его на знак «меньше», умножим обе части на -1, поменяв знак неравенства на противоположный:
$-1 \cdot (5x^2 - 13x + 8) < -1 \cdot 0$
$-5x^2 + 13x - 8 < 0$
Ответ: $-5x^2 + 13x - 8 < 0$

117. Приведите неравенство:

к виду $x^2 + px + q > 0$ или $x^2 + px + q < 0$.

а) Чтобы привести неравенство $-x^2 > 7 - 3x$ к требуемому виду, перенесем все слагаемые в левую часть:

$-x^2 + 3x - 7 > 0$

Теперь нам нужно, чтобы коэффициент при $x^2$ был равен 1. Для этого умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(-1) \cdot (-x^2 + 3x - 7) < (-1) \cdot 0$

$x^2 - 3x + 7 < 0$

Неравенство приведено к виду $x^2 + px + q < 0$.

Ответ: $x^2 - 3x + 7 < 0$

б) Рассмотрим неравенство $-x^2 < 5x - 6$. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$-x^2 - 5x + 6 < 0$

Чтобы коэффициент при $x^2$ стал равен 1, умножим обе части неравенства на $-1$. Не забываем изменить знак неравенства на противоположный:

$(-1) \cdot (-x^2 - 5x + 6) > (-1) \cdot 0$

$x^2 + 5x - 6 > 0$

Неравенство приведено к виду $x^2 + px + q > 0$.

Ответ: $x^2 + 5x - 6 > 0$

в) Дано неравенство $-1,2x < 3 - 0,5x^2$. Перенесем все слагаемые в левую часть, расположив их в стандартном порядке:

$0,5x^2 - 1,2x - 3 < 0$

Коэффициент при $x^2$ равен $0,5$. Чтобы он стал равен 1, умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$2 \cdot (0,5x^2 - 1,2x - 3) < 2 \cdot 0$

$x^2 - 2,4x - 6 < 0$

Неравенство приведено к виду $x^2 + px + q < 0$.

Ответ: $x^2 - 2,4x - 6 < 0$

Решите неравенство (118–123):

118. а) $0.5x^2 > x;$

б) $1.3x^2 < 2x;$

в) $3\frac{1}{2} x < x^2;$

г) $\frac{7}{8} x > 1\frac{3}{5} x^2;$

д) $7 > 4x^2;$

е) $5 < -x^2;$

ж) $2x^2 < 3;$

з) $3x^2 > -5.$

а) $0,5x^2 > x$
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$0,5x^2 - x > 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(0,5x - 1) > 0$
Решим соответствующее уравнение $x(0,5x - 1) = 0$, чтобы найти корни.
Корни: $x_1 = 0$ и $0,5x - 1 = 0$, откуда $x_2 = 2$.
Это неравенство для квадратичной функции $y = 0,5x^2 - x$, график которой — парабола с ветвями вверх (т.к. коэффициент $0,5 > 0$). Парабола находится выше оси Ox (т.е. $y > 0$) вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

б) $1,3x^2 < 2x$
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$1,3x^2 - 2x < 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(1,3x - 2) < 0$
Найдем корни уравнения $x(1,3x - 2) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $1,3x - 2 = 0$, откуда $x_2 = \frac{2}{1,3} = \frac{20}{13}$.
График функции $y = 1,3x^2 - 2x$ — парабола с ветвями вверх ($1,3 > 0$). Парабола находится ниже оси Ox (т.е. $y < 0$) в интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (0; \frac{20}{13})$.
Ответ: $(0; \frac{20}{13})$

в) $3\frac{1}{2}x < x^2$
Переведем смешанную дробь в десятичную $3\frac{1}{2} = 3,5$.
$3,5x < x^2$
Перенесем все в правую часть:
$0 < x^2 - 3,5x$, что то же самое, что $x^2 - 3,5x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 3,5) > 0$
Корни уравнения $x(x - 3,5) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3,5$.
График функции $y = x^2 - 3,5x$ — парабола с ветвями вверх. Она положительна вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (3,5; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (3,5; +\infty)$

г) $\frac{7}{8}x > 1\frac{3}{5}x^2$
Переведем смешанную дробь в неправильную $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.
$\frac{7}{8}x > \frac{8}{5}x^2$
Перенесем все в правую часть: $0 > \frac{8}{5}x^2 - \frac{7}{8}x$, или $\frac{8}{5}x^2 - \frac{7}{8}x < 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(\frac{8}{5}x - \frac{7}{8}) < 0$.
Найдем корни уравнения $x(\frac{8}{5}x - \frac{7}{8}) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $\frac{8}{5}x = \frac{7}{8}$, откуда $x_2 = \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{35}{64}$.
График $y = \frac{8}{5}x^2 - \frac{7}{8}x$ — парабола с ветвями вверх. Она отрицательна между корнями.
Решение: $x \in (0; \frac{35}{64})$.
Ответ: $(0; \frac{35}{64})$

д) $7 > 4x^2$
Перепишем неравенство: $4x^2 < 7$, или $4x^2 - 7 < 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 - 7 = 0$.
$4x^2 = 7 \implies x^2 = \frac{7}{4} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{7}{4}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}$.
График $y = 4x^2 - 7$ — парабола с ветвями вверх. Она отрицательна между корнями.
Решение: $x \in (-\frac{\sqrt{7}}{2}; \frac{\sqrt{7}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{7}}{2}; \frac{\sqrt{7}}{2})$

е) $5 < -x^2$
Перенесем $x^2$ в левую часть: $x^2 + 5 < 0$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.
Следовательно, выражение $x^2 + 5$ всегда будет больше или равно $5$, то есть $x^2+5 \ge 5$.
Таким образом, левая часть неравенства никогда не может быть меньше нуля.
Неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет

ж) $2x^2 < 3$
Перепишем неравенство: $2x^2 - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 3 = 0$.
$2x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{2} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$.
График $y = 2x^2 - 3$ — парабола с ветвями вверх. Она отрицательна между корнями.
Решение: $x \in (-\sqrt{\frac{3}{2}}; \sqrt{\frac{3}{2}})$.
Ответ: $(-\sqrt{\frac{3}{2}}; \sqrt{\frac{3}{2}})$

з) $3x^2 > -5$
Перенесем $-5$ в левую часть: $3x^2 + 5 > 0$.
Выражение $x^2 \ge 0$, поэтому $3x^2 \ge 0$ для любого $x$.
Следовательно, сумма $3x^2 + 5$ всегда будет больше или равна $5$.
Так как $5 > 0$, то неравенство $3x^2 + 5 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.
Ответ: $x$ — любое число, или $(-\infty; +\infty)$

119. a) $10x^2 > 3 + 5x;$

в) $23x < 9x^2 + 8;$

б) $12x^2 > 8x + 3;$

г) $7x^2 - 6 > 25x.$

а)

Перенесем все члены неравенства $10x^2 > 3 + 5x$ в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$10x^2 - 5x - 3 > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $10x^2 - 5x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 25 + 120 = 145$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{145}}{2 \cdot 10} = \frac{5 - \sqrt{145}}{20}$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{145}}{2 \cdot 10} = \frac{5 + \sqrt{145}}{20}$

Графиком функции $y = 10x^2 - 5x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент $a=10 > 0$). Следовательно, значения функции положительны (больше нуля) за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{145}}{20}) \cup (\frac{5 + \sqrt{145}}{20}; +\infty)$

б)

Перенесем все члены неравенства $12x^2 > 8x + 3$ в левую часть:

$12x^2 - 8x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $12x^2 - 8x - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 64 + 144 = 208$

Найдем корни уравнения. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$.

$x_{1,2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{13}}{2 \cdot 12} = \frac{4(2 \pm \sqrt{13})}{24} = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{6}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{13}}{6}$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{13}}{6}$.

Ветви параболы $y = 12x^2 - 8x - 3$ направлены вверх ($a=12 > 0$), поэтому неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2 - \sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{2 + \sqrt{13}}{6}; +\infty)$

в)

Перепишем неравенство $23x < 9x^2 + 8$, перенеся все члены в одну сторону:

$9x^2 - 23x + 8 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9x^2 - 23x + 8 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 8 = 529 - 288 = 241$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{23 - \sqrt{241}}{2 \cdot 9} = \frac{23 - \sqrt{241}}{18}$

$x_2 = \frac{23 + \sqrt{241}}{2 \cdot 9} = \frac{23 + \sqrt{241}}{18}$

Ветви параболы $y = 9x^2 - 23x + 8$ направлены вверх ($a=9>0$), поэтому неравенство $9x^2 - 23x + 8 > 0$ выполняется для значений $x$ за пределами корней.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{23 - \sqrt{241}}{18}) \cup (\frac{23 + \sqrt{241}}{18}; +\infty)$

г)

Перенесем все члены неравенства $7x^2 - 6 > 25x$ в левую часть:

$7x^2 - 25x - 6 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 - 25x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-6) = 625 + 168 = 793$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{25 - \sqrt{793}}{2 \cdot 7} = \frac{25 - \sqrt{793}}{14}$

$x_2 = \frac{25 + \sqrt{793}}{2 \cdot 7} = \frac{25 + \sqrt{793}}{14}$

Ветви параболы $y = 7x^2 - 25x - 6$ направлены вверх ($a=7>0$), поэтому неравенство $7x^2 - 25x - 6 > 0$ выполняется для $x$ вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{25 - \sqrt{793}}{14}) \cup (\frac{25 + \sqrt{793}}{14}; +\infty)$

120. a) $5(x - 1)^2 > 5(1 - x) - x;$

б) $2(x + 1)^2 < 2(2x + 1) - (x - 1)(x + 1);$

в) $(x - 1)^2 + (x - 2)^2 < 1;$

г) $(x + 3)(x - 2) > 3x + 10 - (x + 2)^2.$

а) $5(x - 1)^2 > 5(1 - x) - x$
Раскроем скобки и упростим неравенство. Для начала раскроем квадрат разности в левой части и скобки в правой части:
$5(x^2 - 2x + 1) > 5 - 5x - x$
$5x^2 - 10x + 5 > 5 - 6x$
Перенесём все члены в левую часть неравенства:
$5x^2 - 10x + 5 - 5 + 6x > 0$
$5x^2 - 4x > 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(5x - 4) > 0$
Найдём корни соответствующего уравнения $x(5x - 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{4}{5}$.
Это неравенство для параболы $y = 5x^2 - 4x$, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут положительными за пределами корней.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.

б) $2(x + 1)^2 < 2(2x + 1) - (x - 1)(x + 1)$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и разности квадратов:
$2(x^2 + 2x + 1) < 4x + 2 - (x^2 - 1)$
$2x^2 + 4x + 2 < 4x + 2 - x^2 + 1$
Перенесём все члены в левую часть неравенства:
$2x^2 + 4x + 2 - 4x - 2 + x^2 - 1 < 0$
Приведём подобные слагаемые:
$3x^2 - 1 < 0$
$3x^2 < 1$
$x^2 < \frac{1}{3}$
Это неравенство равносильно системе:
$-\sqrt{\frac{1}{3}} < x < \sqrt{\frac{1}{3}}$
Упростим корни: $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, решение: $-\frac{\sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$.

в) $(x - 1)^2 + (x - 2)^2 < 1$
Раскроем квадраты разности:
$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 4x + 4) < 1$
Приведём подобные слагаемые:
$2x^2 - 6x + 5 < 1$
Перенесём 1 в левую часть:
$2x^2 - 6x + 4 < 0$
Разделим обе части неравенства на 2:
$x^2 - 3x + 2 < 0$
Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 - 3x + 2$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции будут отрицательными между корнями.
Следовательно, $1 < x < 2$.
Ответ: $x \in (1; 2)$.

г) $(x + 3)(x - 2) > 3x + 10 - (x + 2)^2$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$x^2 - 2x + 3x - 6 > 3x + 10 - (x^2 + 4x + 4)$
$x^2 + x - 6 > 3x + 10 - x^2 - 4x - 4$
$x^2 + x - 6 > -x^2 - x + 6$
Перенесём все члены в левую часть:
$x^2 + x - 6 + x^2 + x - 6 > 0$
$2x^2 + 2x - 12 > 0$
Разделим обе части на 2:
$x^2 + x - 6 > 0$
Найдём корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх. Значения функции будут положительными за пределами корней.
Таким образом, решение: $x < -3$ или $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.