Страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

138. a) $(x^2 - 16)(x^2 - x - 2)(x + 2) > 0;$

б) $(2 - 4x)(x^2 - x - 2) < 0;$

в) $(-4 - 3x)(x^2 + 3x - 4) > 0.$

а) $(x^2 - 16)(x^2 - x - 2)(x + 2) > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала разложим на множители каждую скобку.

Первый множитель $x^2 - 16$ является разностью квадратов:
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$

Второй множитель $x^2 - x - 2$ – это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Следовательно, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x - (-1)) = (x - 2)(x + 1)$.

Третий множитель $(x+2)$ уже является линейным.

Теперь перепишем исходное неравенство в разложенном на множители виде:
$(x - 4)(x + 4)(x - 2)(x + 1)(x + 2) > 0$

Найдем нули (корни) левой части неравенства, приравняв ее к нулю:
$(x - 4)(x + 4)(x - 2)(x + 1)(x + 2) = 0$
Корни: $x = 4$, $x = -4$, $x = 2$, $x = -1$, $x = -2$.

Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: -4, -2, -1, 2, 4. Эти точки разбивают прямую на шесть интервалов.
$(-\infty; -4)$, $(-4; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(4; +\infty)$, например, $x = 5$.
$(5 - 4)(5 + 4)(5 - 2)(5 + 1)(5 + 2) = 1 \cdot 9 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 7 > 0$.
Знак в этом интервале – «+».
Поскольку все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Расставим знаки справа налево: +, –, +, –, +, –.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»):
$(-4; -2)$, $(-1; 2)$, $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4; -2) \cup (-1; 2) \cup (4; +\infty)$.

б) $(2 - 4x)(x^2 - x - 2) < 0$

Разложим на множители левую часть неравенства.

Первый множитель $2 - 4x$:
$2 - 4x = -2(2x - 1)$

Второй множитель $x^2 - x - 2$ мы уже раскладывали в пункте а):
$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

Подставим разложенные множители в неравенство:
$-2(2x - 1)(x - 2)(x + 1) < 0$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$(2x - 1)(x - 2)(x + 1) > 0$

Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:
$(2x - 1)(x - 2)(x + 1) = 0$
Корни: $2x-1=0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$; $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -1, $1/2$, 2. Они разбивают прямую на четыре интервала.
$(-\infty; -1)$, $(-1; 1/2)$, $(1/2; 2)$, $(2; +\infty)$.

Определим знаки в интервалах. Возьмем точку из крайнего правого интервала $(2; +\infty)$, например, $x = 3$.
$(2 \cdot 3 - 1)(3 - 2)(3 + 1) = 5 \cdot 1 \cdot 4 > 0$.
Знак в этом интервале – «+». Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются: +, –, +, –.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»):
$(-1; 1/2)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 1/2) \cup (2; +\infty)$.

в) $(-4 - 3x)(x^2 + 3x - 4) > 0$

Сначала разложим левую часть на множители.

Первый множитель $-4 - 3x$:
$-4 - 3x = -(3x + 4)$

Второй множитель $x^2 + 3x - 4$. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно -4. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Следовательно, $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$.

Перепишем неравенство:
$-(3x + 4)(x - 1)(x + 4) > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$(3x + 4)(x - 1)(x + 4) < 0$

Найдем корни левой части:
$(3x + 4)(x - 1)(x + 4) = 0$
Корни: $3x+4=0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$; $x-1=0 \Rightarrow x=1$; $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -4, $-4/3$, 1. Они разбивают прямую на четыре интервала.
$(-\infty; -4)$, $(-4; -4/3)$, $(-4/3; 1)$, $(1; +\infty)$.

Определим знаки в интервалах. Возьмем точку из крайнего правого интервала $(1; +\infty)$, например, $x = 2$.
$(3 \cdot 2 + 4)(2 - 1)(2 + 4) = 10 \cdot 1 \cdot 6 > 0$.
Знак в этом интервале – «+». Знаки чередуются: +, –, +, –.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак «–»):
$(-\infty; -4)$ и $(-4/3; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4/3; 1)$.

139. а) $(x-2)^2(x-1) > 0;$

б) $(x+4)(x+3)^2 < 0;$

в) $(3x-1)^3(x+1) > 0;$

г) $(x+2)(5x+3)^2 < 0;$

д) $(4+x)(9-x^2)(x^2-2x+1) > 0;$

е) $(x-1)(25-x^2)(x^2-4x+4) > 0;$

ж) $(3x-7)(x^2+2x+2) < 0;$

з) $(5x-8)(x^2-4x+5) > 0;$

и) $(x^2+4x+5)(x^2-4x+3)(x-1) < 0;$

к) $(-x^2+6x-10)(x^2-5x+6)(x-2) > 0.$

а) $(x - 2)^2(x - 1) > 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Найдем нули функции $f(x) = (x - 2)^2(x - 1)$, приравняв ее к нулю. Корнями являются $x=1$ и $x=2$.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен, т.е. $(x-2)^2 \ge 0$. Поскольку неравенство строгое ($>0$), левая часть не может быть равна нулю, поэтому $x \neq 1$ и $x \neq 2$.

При $x \neq 2$, множитель $(x-2)^2$ всегда строго положителен. Следовательно, знак всего выражения зависит только от знака множителя $(x-1)$. Неравенство $(x - 2)^2(x - 1) > 0$ при $x \neq 2$ равносильно неравенству $x - 1 > 0$.

Решая $x - 1 > 0$, получаем $x > 1$. Учитывая ограничение $x \neq 2$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, +\infty)$.

б) $(x + 4)(x + 3)^2 < 0$

Найдем нули выражения в левой части: $x=-4$ и $x=-3$.

Множитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое ($<0$), то $x \neq -4$ и $x \neq -3$.

При $x \neq -3$, множитель $(x+3)^2$ строго положителен. Значит, знак всего произведения определяется знаком множителя $(x+4)$.

Неравенство сводится к $x+4 < 0$, что дает $x < -4$. Условие $x \neq -3$ при этом выполняется, так как $-4 < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4)$.

в) $(3x - 1)^3(x + 1) > 0$

Поскольку показатели степеней у обоих множителей нечетные (3 и 1), знак каждого множителя совпадает со знаком его основания. Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$(3x - 1)(x + 1) > 0$.

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $(3x - 1)(x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = 1/3$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = (3x-1)(x+1) = 3x^2+2x-1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1/3, +\infty)$.

г) $(x + 2)(5x + 3)^2 < 0$

Найдем нули выражения в левой части: $x = -2$ и $5x+3=0 \implies x = -3/5$.

Множитель $(5x+3)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое ($<0$), то $x \neq -2$ и $x \neq -3/5$.

При $x \neq -3/5$, множитель $(5x+3)^2$ строго положителен. Значит, знак всего произведения определяется знаком множителя $(x+2)$.

Неравенство сводится к $x+2 < 0$, что дает $x < -2$. Условие $x \neq -3/5$ при этом выполняется.

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.

д) $(4 + x)(9 - x^2)(x^2 - 2x + 1) > 0$

Разложим каждый множитель на простые сомножители: $4+x = x+4$, $9-x^2 = (3-x)(3+x) = -(x-3)(x+3)$ и $x^2-2x+1 = (x-1)^2$.

Подставим разложение в исходное неравенство:

$(x+4)(-(x-3)(x+3))(x-1)^2 > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$(x+4)(x+3)(x-3)(x-1)^2 < 0$

Множитель $(x-1)^2$ неотрицателен. Так как неравенство строгое, $x \neq 1$. При $x \neq 1$ он положителен, поэтому его можно отбросить, сохранив знак неравенства. Неравенство сводится к системе:

$\begin{cases} (x+4)(x+3)(x-3) < 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство $(x+4)(x+3)(x-3) < 0$ методом интервалов. Корни: $-4, -3, 3$.

Определяем знаки на интервалах: $(-\infty, -4) \implies -$; $(-4, -3) \implies +$; $(-3, 3) \implies -$; $(3, +\infty) \implies +$.

Решением являются интервалы $(-\infty, -4)$ и $(-3, 3)$. Учитывая условие $x \neq 1$, разбиваем второй интервал.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 1) \cup (1, 3)$.

е) $(x - 1)(25 - x^2)(x^2 - 4x + 4) > 0$

Разложим множители: $25-x^2 = -(x-5)(x+5)$ и $x^2-4x+4 = (x-2)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(x-1)(-(x-5)(x+5))(x-2)^2 > 0$

$-(x+5)(x-1)(x-5)(x-2)^2 > 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$(x+5)(x-1)(x-5)(x-2)^2 < 0$

Множитель $(x-2)^2$ неотрицателен. Из-за строгости неравенства $x \neq 2$. При $x \neq 2$ он положителен и не влияет на знак. Решаем систему:

$\begin{cases} (x+5)(x-1)(x-5) < 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Решим первое неравенство методом интервалов. Корни: $-5, 1, 5$.

Знаки на интервалах: $(-\infty, -5) \implies -$; $(-5, 1) \implies +$; $(1, 5) \implies -$; $(5, +\infty) \implies +$.

Решением являются интервалы $(-\infty, -5)$ и $(1, 5)$. Учитывая $x \neq 2$, разбиваем второй интервал.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (1, 2) \cup (2, 5)$.

ж) $(3x - 7)(x^2 + 2x + 2) < 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 2$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + 2x + 2$ положительно при любых значениях $x$.

Следовательно, можно разделить обе части неравенства на $x^2 + 2x + 2$, не меняя знака неравенства:

$3x - 7 < 0 \implies 3x < 7 \implies x < 7/3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 7/3)$.

з) $(5x - 8)(x^2 - 4x + 5) > 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 5$. Его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 - 4x + 5$ всегда положительно.

Разделим обе части неравенства на это положительное выражение:

$5x - 8 > 0 \implies 5x > 8 \implies x > 8/5$.

Ответ: $x \in (8/5, +\infty)$.

и) $(x^2 + 4x + 5)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) < 0$

Рассмотрим каждый множитель. Для $x^2 + 4x + 5$: дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$. Так как $a=1>0$, этот трехчлен всегда положителен. Его можно отбросить, сохранив знак неравенства. Разложим $x^2 - 4x + 3$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ равны $x_1=1, x_2=3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Неравенство сводится к:

$(x - 1)(x - 3)(x - 1) < 0$, то есть $(x - 1)^2(x - 3) < 0$.

Множитель $(x-1)^2$ неотрицателен. Так как неравенство строгое, $x \neq 1$. При $x \neq 1$ он положителен. Таким образом, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x - 3 < 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Из $x-3<0$ следует $x<3$. Учитывая $x \neq 1$, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, 3)$.

к) $(-x^2 + 6x - 10)(x^2 - 5x + 6)(x - 2) > 0$

Рассмотрим каждый множитель. Для $-x^2 + 6x - 10$: дискриминант $D = 6^2 - 4(-1)(-10) = 36 - 40 = -4 < 0$. Так как старший коэффициент $a=-1<0$, этот трехчлен всегда отрицателен.

Разделим обе части неравенства на отрицательное выражение $(-x^2 + 6x - 10)$, изменив знак неравенства на противоположный:

$(x^2 - 5x + 6)(x - 2) < 0$

Разложим $x^2 - 5x + 6$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x + 6=0$ равны $x_1=2, x_2=3$. Таким образом, $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 2)(x - 3)(x - 2) < 0$, то есть $(x - 2)^2(x - 3) < 0$.

Множитель $(x-2)^2 \ge 0$. Так как неравенство строгое, $x \neq 2$. При $x \neq 2$ он положителен. Решаем систему:

$\begin{cases} x - 3 < 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Из $x-3<0$ следует $x<3$. Учитывая $x \neq 2$, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$.

140. Исследуем.

а) При каких значениях $a$ множество решений неравенства $(x - 3)(x - 5)(x - a)^2 > 0$ состоит из двух интервалов? из трёх интервалов?

б) При каких значениях $a$ множество решений неравенства $(x - 3)(x - 5)(x - a)^2 < 0$ состоит из одного интервала? из двух интервалов?

а)

Рассмотрим неравенство $(x - 3)(x - 5)(x - a)^2 > 0$.

Множитель $(x - a)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = a$ и положителен при $x \neq a$.

Поскольку неравенство строгое ($> 0$), то $x=a$ не может быть решением. Также левая часть не может быть равна нулю. Следовательно, мы можем разделить неравенство на две системы условий:

1. $(x - 3)(x - 5) > 0$

2. $x \neq a$

Решением неравенства $(x - 3)(x - 5) > 0$ является объединение двух интервалов: $x \in (-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$. Назовем это множество $S$.

Теперь нужно из множества $S$ исключить точку $x=a$. Количество итоговых интервалов зависит от того, где находится точка $a$.

Множество решений состоит из двух интервалов:

Это произойдет, если точка $a$ не принадлежит множеству $S$. То есть, исключение точки $a$ не разделит ни один из интервалов $(-\infty, 3)$ или $(5, +\infty)$. Это возможно, если $a$ находится в промежутке между этими интервалами, включая концы, так как они не входят в $S$.

Таким образом, $a$ должно удовлетворять условию $3 \le a \le 5$. В этом случае множество решений останется $x \in (-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$, что является двумя интервалами.

Множество решений состоит из трёх интервалов:

Это произойдет, если точка $a$ принадлежит множеству $S$. Исключение точки $a$ из $S$ разделит один из интервалов на два.

• Если $a \in (-\infty, 3)$, то интервал $(-\infty, 3)$ разбивается на два: $(-\infty, a) \cup (a, 3)$. Общее решение: $(-\infty, a) \cup (a, 3) \cup (5, +\infty)$ — три интервала.
• Если $a \in (5, +\infty)$, то интервал $(5, +\infty)$ разбивается на два: $(5, a) \cup (a, +\infty)$. Общее решение: $(-\infty, 3) \cup (5, a) \cup (a, +\infty)$ — три интервала.

Следовательно, множество решений состоит из трёх интервалов при $a < 3$ или $a > 5$.

Ответ: множество решений состоит из двух интервалов при $a \in [3, 5]$; из трёх интервалов при $a \in (-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$.

б)

Рассмотрим неравенство $(x - 3)(x - 5)(x - a)^2 < 0$.

Аналогично пункту а), множитель $(x - a)^2$ должен быть строго положительным (так как неравенство строгое), что означает $x \neq a$. При этом условии знак всего выражения определяется знаком произведения $(x - 3)(x - 5)$.

Таким образом, решение исходного неравенства эквивалентно системе:

1. $(x - 3)(x - 5) < 0$

2. $x \neq a$

Решением неравенства $(x - 3)(x - 5) < 0$ является интервал $x \in (3, 5)$. Назовем это множество $T$.

Теперь нужно из множества $T$ исключить точку $x=a$. Количество итоговых интервалов зависит от того, где находится точка $a$.

Множество решений состоит из одного интервала:

Это произойдет, если точка $a$ не принадлежит множеству $T$, то есть не лежит внутри интервала $(3, 5)$. Это возможно, если $a \le 3$ или $a \ge 5$. В этом случае исключать из интервала $(3, 5)$ ничего не нужно, и решение так и останется одним интервалом $x \in (3, 5)$.

Множество решений состоит из двух интервалов:

Это произойдет, если точка $a$ принадлежит множеству $T$, то есть $3 < a < 5$. В этом случае точка $a$ разбивает интервал $(3, 5)$ на два: $(3, a) \cup (a, 5)$. Множество решений будет состоять из этих двух интервалов.

Ответ: множество решений состоит из одного интервала при $a \in (-\infty, 3] \cup [5, +\infty)$; из двух интервалов при $a \in (3, 5)$.