Страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

151. a) $\frac{1}{x} > 1$;

б) $\frac{1}{x} < 1$;

в) $\frac{x+1}{x} > 1$;

г) $\frac{x-1}{x} < 1$.

а)

Дано неравенство $\frac{1}{x} > 1$.

Первым шагом перенесем 1 в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем:

$\frac{1}{x} - 1 > 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1 - x}{x} > 0$

Для решения этого рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. Для этого найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $1 - x = 0 \implies x = 1$.

Нуль знаменателя: $x = 0$. (Это точка разрыва, она не входит в решение).

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.

Теперь определим знак выражения $\frac{1 - x}{x}$ на каждом из интервалов:

• На интервале $(1, \infty)$, возьмем $x=2$: $\frac{1 - 2}{2} = -\frac{1}{2} < 0$.
• На интервале $(0, 1)$, возьмем $x=0.5$: $\frac{1 - 0.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 > 0$.
• На интервале $(-\infty, 0)$, возьмем $x=-1$: $\frac{1 - (-1)}{-1} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение $\frac{1 - x}{x}$ строго больше нуля. Согласно нашим вычислениям, это происходит на интервале $(0, 1)$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

б)

Дано неравенство $\frac{1}{x} < 1$.

Аналогично пункту а), перенесем 1 влево и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{x} - 1 < 0$

$\frac{1 - x}{x} < 0$

Мы можем использовать те же интервалы и знаки, что и в пункте а), так как анализируется то же самое выражение $\frac{1 - x}{x}$.

• Интервал $(1, \infty)$: знак минус (-).
• Интервал $(0, 1)$: знак плюс (+).
• Интервал $(-\infty, 0)$: знак минус (-).

В данном случае нас интересует, где выражение меньше нуля. Это происходит на двух интервалах: $(-\infty, 0)$ и $(1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

в)

Дано неравенство $\frac{x+1}{x} > 1$.

Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{x+1}{x} - 1 > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x+1) - 1 \cdot x}{x} > 0$

Упростим числитель:

$\frac{x+1 - x}{x} > 0$

$\frac{1}{x} > 0$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Поскольку числитель (1) всегда положителен, знаменатель также должен быть положителен.

$x > 0$

Ответ: $x \in (0, \infty)$.

г)

Дано неравенство $\frac{x-1}{x} < 1$.

Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{x-1}{x} - 1 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x-1) - 1 \cdot x}{x} < 0$

Упростим числитель:

$\frac{x-1 - x}{x} < 0$

$\frac{-1}{x} < 0$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку числитель (-1) всегда отрицателен, для выполнения неравенства знаменатель должен быть положителен.

$x > 0$

Ответ: $x \in (0, \infty)$.

152. а) $\frac{x}{x-1} < \frac{1}{x}$;

б) $\frac{3}{x} > \frac{5x}{3}$;

в) $\frac{x+1}{x-1} < \frac{3}{x}$;

г) $\frac{2}{x} > \frac{x-2}{3-x}$.

а) $\frac{x}{x-1} < \frac{1}{x}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x} < 0$
$\frac{x \cdot x - 1 \cdot (x-1)}{x(x-1)} < 0$
$\frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)} < 0$

Рассмотрим числитель дроби: $x^2 - x + 1$. Это квадратичная функция. Найдем ее дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), выражение $x^2 - x + 1$ всегда принимает положительные значения при любом $x$.

Так как числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:
$x(x-1) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни выражения $x(x-1)$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; \infty)$.
Определим знак выражения $x(x-1)$ в каждом интервале. Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.
Следовательно, решение неравенства — это интервал $(0; 1)$.
Область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства: $x-1 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq 0$. Найденное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

б) $\frac{3}{x} > \frac{5x}{3}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{3}{x} - \frac{5x}{3} > 0$
$\frac{3 \cdot 3 - 5x \cdot x}{3x} > 0$
$\frac{9 - 5x^2}{3x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $9 - 5x^2 = 0 \implies 5x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{5} \implies x = \pm\sqrt{\frac{9}{5}} = \pm\frac{3}{\sqrt{5}} = \pm\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
Нуль знаменателя: $3x = 0 \implies x = 0$.

Отметим эти точки на числовой оси: $-\frac{3\sqrt{5}}{5}$, $0$, $\frac{3\sqrt{5}}{5}$. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения $\frac{9 - 5x^2}{3x}$ в каждом из них.

• При $x > \frac{3\sqrt{5}}{5}$ (например, $x=2$): $\frac{9 - 5(4)}{3(2)} = \frac{-11}{6} < 0$.
• При $0 < x < \frac{3\sqrt{5}}{5}$ (например, $x=1$): $\frac{9 - 5(1)}{3(1)} = \frac{4}{3} > 0$.
• При $-\frac{3\sqrt{5}}{5} < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{9 - 5(1)}{3(-1)} = \frac{4}{-3} < 0$.
• При $x < -\frac{3\sqrt{5}}{5}$ (например, $x=-2$): $\frac{9 - 5(4)}{3(-2)} = \frac{-11}{-6} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля.
ОДЗ: $x \neq 0$. Эта точка исключена из решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3\sqrt{5}}{5}) \cup (0; \frac{3\sqrt{5}}{5})$.

в) $\frac{x+1}{x-1} < \frac{3}{x}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x+1}{x-1} - \frac{3}{x} < 0$
$\frac{x(x+1) - 3(x-1)}{x(x-1)} < 0$
$\frac{x^2 + x - 3x + 3}{x(x-1)} < 0$
$\frac{x^2 - 2x + 3}{x(x-1)} < 0$

Рассмотрим числитель $x^2 - 2x + 3$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 - 2x + 3$ всегда положительно.

Поскольку числитель всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком знаменателя. Неравенство сводится к следующему:
$x(x-1) < 0$

Это неравенство было решено в пункте а). Корнями являются $x=0$ и $x=1$. Парабола $y=x(x-1)$ направлена ветвями вверх и принимает отрицательные значения на интервале между корнями.
ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq 0$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

г) $\frac{2}{x} > \frac{x-2}{3-x}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{2}{x} - \frac{x-2}{3-x} > 0$
$\frac{2(3-x) - x(x-2)}{x(3-x)} > 0$
$\frac{6 - 2x - x^2 + 2x}{x(3-x)} > 0$
$\frac{6 - x^2}{x(3-x)} > 0$

Для решения методом интервалов найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $6 - x^2 = 0 \implies x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}$.
Нули знаменателя: $x = 0$ и $3-x=0 \implies x=3$.

Отметим точки $-\sqrt{6}$, $0$, $\sqrt{6}$, $3$ на числовой оси (приблизительно $-\text{2.45}$, $0$, $\text{2.45}$, $3$). Они делят ось на пять интервалов. Определим знак выражения $\frac{6 - x^2}{x(3-x)}$ в каждом интервале.

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{6-16}{4(3-4)} = \frac{-10}{-4} > 0$.
• При $\sqrt{6} < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{6 - (2.5)^2}{2.5(3-2.5)} = \frac{6 - 6.25}{1.25} < 0$.
• При $0 < x < \sqrt{6}$ (например, $x=1$): $\frac{6-1}{1(3-1)} = \frac{5}{2} > 0$.
• При $-\sqrt{6} < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{6-1}{-1(3-(-1))} = \frac{5}{-4} < 0$.
• При $x < -\sqrt{6}$ (например, $x=-3$): $\frac{6-9}{-3(3-(-3))} = \frac{-3}{-18} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение положительно.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 3$. Эти точки исключены из решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (0; \sqrt{6}) \cup (3; \infty)$.

153. а) $\frac{x^2 - 6x + 4}{x - 1} > 0;$

б) $\frac{x^2 + 6x + 6}{x + 2} < 0;$

в) $\frac{x^2 - 5}{2x^2 - 3x - 2} < 0;$

г) $\frac{3 - x^2}{3x^2 - 4x - 1} > 0.$

a)

Решим неравенство $\frac{x^2 - 6x + 4}{x - 1} > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя, решив уравнение $x^2 - 6x + 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.

Итак, нули числителя: $x_1 = 3 - \sqrt{5}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{5}$.

2. Найдем нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Это точка разрыва, она будет выколотой на числовой оси.

3. Расположим найденные точки на числовой оси в порядке возрастания. Оценим значения корней: $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, т.е. $2 < \sqrt{5} < 3$.

$x_1 = 3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.24 = 0.76$.

$x_2 = 3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.24 = 5.24$.

Получаем порядок точек: $3 - \sqrt{5}$, $1$, $3 + \sqrt{5}$.

4. Определим знаки выражения на полученных интервалах: $(-\infty; 3 - \sqrt{5})$, $(3 - \sqrt{5}; 1)$, $(1; 3 + \sqrt{5})$, $(3 + \sqrt{5}; +\infty)$.

Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x = 6$:

$\frac{6^2 - 6 \cdot 6 + 4}{6 - 1} = \frac{36 - 36 + 4}{5} = \frac{4}{5} > 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться: +, -, +, -.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть интервалы со знаком "+".

Это интервалы $(3 - \sqrt{5}; 1)$ и $(3 + \sqrt{5}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3 - \sqrt{5}; 1) \cup (3 + \sqrt{5}; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{x^2 + 6x + 6}{x + 2} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $x^2 + 6x + 6 = 0$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$.

$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -3 \pm \sqrt{3}$.

Нули числителя: $x_1 = -3 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -3 + \sqrt{3}$.

2. Найдем нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

3. Расположим точки на числовой оси. Оценим значения: $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, т.е. $1 < \sqrt{3} < 2$.

$x_1 = -3 - \sqrt{3} \approx -3 - 1.73 = -4.73$.

$x_2 = -3 + \sqrt{3} \approx -3 + 1.73 = -1.27$.

Порядок точек: $-3 - \sqrt{3}$, $-2$, $-3 + \sqrt{3}$.

4. Определим знаки на интервалах: $(-\infty; -3 - \sqrt{3})$, $(-3 - \sqrt{3}; -2)$, $(-2; -3 + \sqrt{3})$, $(-3 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Возьмем пробную точку $x = 0$:

$\frac{0^2 + 6 \cdot 0 + 6}{0 + 2} = \frac{6}{2} = 3 > 0$.

Знаки на интервалах, чередуясь справа налево: +, -, +, -.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть со знаком "-".

Это интервалы $(-\infty; -3 - \sqrt{3})$ и $(-2; -3 + \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3 - \sqrt{3}) \cup (-2; -3 + \sqrt{3})$.

в)

Решим неравенство $\frac{x^2 - 5}{2x^2 - 3x - 2} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$.

Нули числителя: $x_1 = -\sqrt{5}$ и $x_2 = \sqrt{5}$.

2. Найдем нули знаменателя: $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.

Нули знаменателя: $x_3 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$ и $x_4 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

3. Расположим точки на числовой оси. Оценим $\sqrt{5} \approx 2.24$.

Порядок точек: $-\sqrt{5}$, $-0.5$, $2$, $\sqrt{5}$.

4. Определим знаки на интервалах. Возьмем пробную точку $x = 3$:

$\frac{3^2 - 5}{2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 - 2} = \frac{9 - 5}{18 - 9 - 2} = \frac{4}{7} > 0$.

Знаки на интервалах, чередуясь справа налево: +, -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть со знаком "-".

Это интервалы $(-\sqrt{5}; -0.5)$ и $(2; \sqrt{5})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{5}; -0.5) \cup (2; \sqrt{5})$.

г)

Решим неравенство $\frac{3 - x^2}{3x^2 - 4x - 1} > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при старшей степени в числителе был положительным: $\frac{x^2 - 3}{3x^2 - 4x - 1} < 0$.

1. Найдем нули числителя: $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

Нули числителя: $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

2. Найдем нули знаменателя: $3x^2 - 4x - 1 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$.

$x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$.

Нули знаменателя: $x_3 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ и $x_4 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$.

3. Расположим точки на числовой оси. Оценим значения: $\sqrt{3} \approx 1.732$; $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, т.е. $2 < \sqrt{7} < 3$.

$x_3 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3} \approx \frac{2 - 2.65}{3} \approx -0.22$.

$x_4 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \approx \frac{2 + 2.65}{3} \approx 1.55$.

Порядок точек: $-\sqrt{3}$, $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$, $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$, $\sqrt{3}$.

4. Определим знаки выражения $\frac{x^2 - 3}{3x^2 - 4x - 1}$ на интервалах. Возьмем пробную точку $x = 2$:

$\frac{2^2 - 3}{3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 - 1} = \frac{4 - 3}{12 - 8 - 1} = \frac{1}{3} > 0$.

Знаки на интервалах, чередуясь справа налево: +, -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение $\frac{x^2 - 3}{3x^2 - 4x - 1}$ меньше нуля (согласно преобразованному неравенству), то есть со знаком "-".

Это интервалы $(-\sqrt{3}; \frac{2 - \sqrt{7}}{3})$ и $(\frac{2 + \sqrt{7}}{3}; \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}; \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{2 + \sqrt{7}}{3}; \sqrt{3})$.

154. a) $\frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-3)^2} > 0;$

б) $\frac{(x+1)^2(x-2)^2}{x+3} < 0;$

в) $\frac{(x-1)^3(x-2)}{(x-3)^2} > 0;$

г) $\frac{(x+1)(x-2)^3}{x+3} < 0.$

а)

Для решения неравенства $ \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-3)^2} > 0 $ используем метод интервалов.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен равняться нулю, поэтому $(x-3)^2 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.

2. Найдём нули функции $f(x) = \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-3)^2}$.
Нули числителя: $(x-1)^2(x-2) = 0$. Корни: $x=1$ (кратность 2, чётная) и $x=2$ (кратность 1, нечётная).
Нули знаменателя: $(x-3)^2 = 0$. Корень: $x=3$ (кратность 2, чётная).

3. Отметим точки $1, 2, 3$ на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

4. Проанализируем знаки. Множители $(x-1)^2$ и $(x-3)^2$ всегда неотрицательны (равны нулю в точках $x=1$ и $x=3$ соответственно). Следовательно, знак всего выражения для $x \neq 1$ и $x \neq 3$ совпадает со знаком множителя $(x-2)$.

Таким образом, неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} x-2 > 0 \\ x \neq 1 \\ x \neq 3 \end{cases} $

Решая $x-2 > 0$, получаем $x > 2$. С учётом ограничений $x \neq 3$, окончательное решение: $x \in (2, 3) \cup (3, \infty)$.

Ответ: $x \in (2, 3) \cup (3, \infty)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{(x+1)^2(x-2)^2}{x+3} < 0 $.

1. ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

2. Найдём нули функции.
Нули числителя: $(x+1)^2(x-2)^2 = 0$. Корни: $x=-1$ (кратность 2, чётная) и $x=2$ (кратность 2, чётная).
Нули знаменателя: $x+3 = 0$. Корень: $x=-3$ (кратность 1, нечётная).

3. Отметим точки $-3, -1, 2$ на числовой оси. Все точки выколотые.

4. Множители в числителе $(x+1)^2$ и $(x-2)^2$ всегда неотрицательны. Числитель положителен при всех $x$, кроме $x=-1$ и $x=2$, где он равен нулю. Поскольку неравенство строгое ($<0$), эти точки не являются решением.

Таким образом, знак дроби зависит только от знака знаменателя $x+3$. Неравенство сводится к $x+3 < 0$.

Решая $x+3 < 0$, получаем $x < -3$. Это решение не включает точки $x=-1$ и $x=2$, поэтому дополнительных ограничений не требуется.

Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.

в)

Решим неравенство $ \frac{(x-1)^3(x-2)}{(x-3)^2} > 0 $ методом интервалов.

1. ОДЗ: $(x-3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

2. Найдём нули функции.
Нули числителя: $(x-1)^3(x-2) = 0$. Корни: $x=1$ (кратность 3, нечётная) и $x=2$ (кратность 1, нечётная).
Нули знаменателя: $(x-3)^2 = 0$. Корень: $x=3$ (кратность 2, чётная).

3. Отметим точки $1, 2, 3$ на числовой оси. Все точки выколотые.

4. Определим знаки на интервалах. При переходе через корень нечётной кратности знак меняется, а при переходе через корень чётной кратности — сохраняется.
- На интервале $(3, \infty)$ возьмём точку $x=4$: $ \frac{(+)^3(+)}{(+)^2} > 0 $. Знак "+".
- Переходим через $x=3$ (чётная кратность): знак сохраняется. На интервале $(2, 3)$ знак "+".
- Переходим через $x=2$ (нечётная кратность): знак меняется. На интервале $(1, 2)$ знак "-".
- Переходим через $x=1$ (нечётная кратность): знак меняется. На интервале $(-\infty, 1)$ знак "+".

Нас интересуют интервалы со знаком "+". Это $(-\infty, 1)$, $(2, 3)$ и $(3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$.

г)

Решим неравенство $ \frac{(x+1)(x-2)^3}{x+3} < 0 $ методом интервалов.

1. ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

2. Найдём нули функции.
Нули числителя: $(x+1)(x-2)^3 = 0$. Корни: $x=-1$ (кратность 1, нечётная) и $x=2$ (кратность 3, нечётная).
Нули знаменателя: $x+3 = 0$. Корень: $x=-3$ (кратность 1, нечётная).

3. Отметим точки $-3, -1, 2$ на числовой оси. Все точки выколотые. Все корни имеют нечётную кратность, поэтому знак будет чередоваться при переходе через каждую точку.

4. Определим знаки на интервалах.
- На интервале $(2, \infty)$ возьмём точку $x=3$: $ \frac{(3+1)(3-2)^3}{3+3} = \frac{4 \cdot 1}{6} > 0 $. Знак "+".
- Так как все корни нечётной кратности, знаки чередуются:
Интервал $(-1, 2)$ — знак "-".
Интервал $(-3, -1)$ — знак "+".
Интервал $(-\infty, -3)$ — знак "-".

Нас интересуют интервалы со знаком "-". Это $(-\infty, -3)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 2)$.

155. a) $\frac{(x+1)^2(x-2)}{(x+3)^2} > 0;$

б) $\frac{(x-1)^2(x+2)^2}{x+3} < 0;$

в) $\frac{(x+1)^3(x-2)}{(x-3)^2} < 0;$

г) $\frac{(x+1)(x+2)^3}{x+3} < 0;$

д) $\frac{(x-1)^2(x-3)}{x+3} > 0;$

е) $\frac{(x-2)^2(x+4)}{x-4} < 0.$

а) Решим неравенство $\frac{(x+1)^2(x-2)}{(x+3)^2} > 0$.
1. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $(x+3)^2 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.
2. Найдем нули числителя: $(x+1)^2(x-2) = 0$, откуда $x = -1$ или $x = 2$.
3. Так как неравенство строгое, левая часть не может быть равна нулю, поэтому $x \neq -1$ и $x \neq 2$.
4. Множители $(x+1)^2$ и $(x+3)^2$ всегда положительны при $x \neq -1$ и $x \neq -3$ соответственно. Таким образом, знак всей дроби зависит только от знака множителя $(x-2)$.
5. Неравенство сводится к $x-2 > 0$ при учете всех ограничений: $x \neq -3$, $x \neq -1$, $x \neq 2$.
6. Решая $x-2 > 0$, получаем $x > 2$.
7. Данный интервал $(2, \infty)$ удовлетворяет всем перечисленным условиям.
Ответ: $x \in (2, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{(x-1)^2(x+2)^2}{x+3} < 0$.
1. ОДЗ: $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.
2. Числитель $(x-1)^2(x+2)^2$ является произведением квадратов и, следовательно, всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, числитель не может быть равен нулю, значит $x \neq 1$ и $x \neq -2$.
3. При $x \neq 1$ и $x \neq -2$ числитель строго положителен. Знак дроби в этом случае определяется знаком знаменателя.
4. Для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицательным: $x+3 < 0$.
5. Решая $x+3 < 0$, получаем $x < -3$.
6. Интервал $(-\infty, -3)$ удовлетворяет условиям $x \neq 1$ и $x \neq -2$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.

в) Решим неравенство $\frac{(x+1)^3(x-2)}{(x-3)^2} < 0$.
1. ОДЗ: $(x-3)^2 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.
2. Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$.
3. Неравенство равносильно неравенству для числителя: $(x+1)^3(x-2) < 0$.
4. Знак выражения $(x+1)^3$ совпадает со знаком $(x+1)$. Таким образом, неравенство можно упростить до $(x+1)(x-2) < 0$.
5. Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни: $x = -1$ и $x = 2$. График функции $y=(x+1)(x-2)$ — парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.
6. Решение: $-1 < x < 2$.
7. Данный интервал не содержит точку $x=3$ из ОДЗ.
Ответ: $x \in (-1, 2)$.

г) Решим неравенство $\frac{(x+1)(x+2)^3}{x+3} < 0$.
1. ОДЗ: $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.
2. Знак выражения $(x+2)^3$ совпадает со знаком $(x+2)$. Неравенство равносильно $\frac{(x+1)(x+2)}{x+3} < 0$.
3. Решим полученное неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $x=-3, x=-2, x=-1$.
4. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, \infty)$.
5. Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку $x=0$ из интервала $(-1, \infty)$: $\frac{(0+1)(0+2)}{0+3} = \frac{2}{3} > 0$.
6. Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки в интервалах будут чередоваться: $(-\infty, -3): -$; $(-3, -2): +$; $(-2, -1): -$; $(-1, \infty): +$.
7. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, -1)$.

д) Решим неравенство $\frac{(x-1)^2(x-3)}{x+3} > 0$.
1. ОДЗ: $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.
2. Множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, $x \neq 1$. При $x \neq 1$ этот множитель положителен и не влияет на знак дроби.
3. Таким образом, неравенство равносильно системе: $\begin{cases} \frac{x-3}{x+3} > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$.
4. Решим неравенство $\frac{x-3}{x+3} > 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=-3$.
5. Интервалы и знаки: $(-\infty, -3): +$; $(-3, 3): -$; $(3, \infty): +$.
6. Решением является объединение интервалов $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
7. Точка $x=1$ не входит в полученное множество, поэтому дополнительно исключать ее не нужно.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

е) Решим неравенство $\frac{(x-2)^2(x+4)}{x-4} < 0$.
1. ОДЗ: $x-4 \neq 0$, откуда $x \neq 4$.
2. Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, $x \neq 2$. При $x \neq 2$ этот множитель положителен и не влияет на знак дроби.
3. Неравенство равносильно системе: $\begin{cases} \frac{x+4}{x-4} < 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$.
4. Решим неравенство $\frac{x+4}{x-4} < 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-4$ и $x=4$.
5. Интервалы и знаки: $(-\infty, -4): +$; $(-4, 4): -$; $(4, \infty): +$.
6. Решением является интервал $(-4, 4)$.
7. Из этого интервала необходимо исключить точку $x=2$.
8. Получаем объединение двух интервалов: $(-4, 2)$ и $(2, 4)$.
Ответ: $x \in (-4, 2) \cup (2, 4)$.

156. Исследуем.

a) При каких значениях $a$ множество решений неравенства $\frac{(x + 5)(x - 3)}{(x - a)^2} > 0$ состоит из двух интервалов?

из трёх интервалов?

б) При каких значениях $a$ множество решений неравенства $\frac{(x + 5)(x - 3)}{(x - a)^2} < 0$ состоит из одного интервала? из двух интервалов?

a)

Рассмотрим неравенство $\frac{(x+5)(x-3)}{(x-a)^2} > 0$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого неравенства: $x \neq a$. Поскольку знаменатель $(x-a)^2$ всегда положителен при $x \neq a$, знак всей дроби определяется знаком числителя $(x+5)(x-3)$. Следовательно, исходное неравенство равносильно тому, что $(x+5)(x-3) > 0$ и $x \neq a$.

Решением неравенства $(x+5)(x-3) > 0$ является множество $(-\infty, -5) \cup (3, \infty)$. Это объединение двух интервалов. Итоговое решение — это данное множество, из которого исключена точка $x=a$. Количество интервалов в итоговом решении зависит от положения точки $a$.

Множество решений состоит из двух интервалов, если точка $a$ не принадлежит множеству $(-\infty, -5) \cup (3, \infty)$. Это происходит, когда $a$ находится в промежутке $[-5, 3]$. В этом случае исключение $x=a$ не меняет множество решений, так как точка $a$ либо находится между интервалами, либо совпадает с их границами, которые и так не включены.

Множество решений состоит из трёх интервалов, если точка $a$ принадлежит множеству $(-\infty, -5) \cup (3, \infty)$, то есть при $a < -5$ или $a > 3$. В этом случае точка $a$ разбивает один из интервалов на два, в результате чего общее количество интервалов становится равным трём (например, при $a < -5$ решением будет $(-\infty, a) \cup (a, -5) \cup (3, \infty)$).

Ответ: из двух интервалов при $a \in [-5, 3]$; из трёх интервалов при $a \in (-\infty, -5) \cup (3, \infty)$.

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{(x+5)(x-3)}{(x-a)^2} < 0$. Аналогично пункту а), оно равносильно тому, что $(x+5)(x-3) < 0$ и $x \neq a$.

Решением неравенства $(x+5)(x-3) < 0$ является интервал $(-5, 3)$. Это один интервал. Итоговое решение — это данный интервал, из которого исключена точка $x=a$.

Множество решений состоит из одного интервала, если точка $a$ не принадлежит интервалу $(-5, 3)$, то есть при $a \le -5$ или $a \ge 3$. В этом случае исключение точки $a$ не меняет множество решений, так как она находится вне этого интервала.

Множество решений состоит из двух интервалов, если точка $a$ принадлежит интервалу $(-5, 3)$, то есть при $-5 < a < 3$. В этом случае точка $a$ разбивает исходный интервал на два: $(-5, a) \cup (a, 3)$.

Ответ: из одного интервала при $a \in (-\infty, -5] \cup [3, \infty)$; из двух интервалов при $a \in (-5, 3)$.