Номер 155, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

155. a) $\frac{(x+1)^2(x-2)}{(x+3)^2} > 0;$

б) $\frac{(x-1)^2(x+2)^2}{x+3} < 0;$

в) $\frac{(x+1)^3(x-2)}{(x-3)^2} < 0;$

г) $\frac{(x+1)(x+2)^3}{x+3} < 0;$

д) $\frac{(x-1)^2(x-3)}{x+3} > 0;$

е) $\frac{(x-2)^2(x+4)}{x-4} < 0.$

а) Решим неравенство $\frac{(x+1)^2(x-2)}{(x+3)^2} > 0$.
1. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $(x+3)^2 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.
2. Найдем нули числителя: $(x+1)^2(x-2) = 0$, откуда $x = -1$ или $x = 2$.
3. Так как неравенство строгое, левая часть не может быть равна нулю, поэтому $x \neq -1$ и $x \neq 2$.
4. Множители $(x+1)^2$ и $(x+3)^2$ всегда положительны при $x \neq -1$ и $x \neq -3$ соответственно. Таким образом, знак всей дроби зависит только от знака множителя $(x-2)$.
5. Неравенство сводится к $x-2 > 0$ при учете всех ограничений: $x \neq -3$, $x \neq -1$, $x \neq 2$.
6. Решая $x-2 > 0$, получаем $x > 2$.
7. Данный интервал $(2, \infty)$ удовлетворяет всем перечисленным условиям.
Ответ: $x \in (2, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{(x-1)^2(x+2)^2}{x+3} < 0$.
1. ОДЗ: $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.
2. Числитель $(x-1)^2(x+2)^2$ является произведением квадратов и, следовательно, всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, числитель не может быть равен нулю, значит $x \neq 1$ и $x \neq -2$.
3. При $x \neq 1$ и $x \neq -2$ числитель строго положителен. Знак дроби в этом случае определяется знаком знаменателя.
4. Для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицательным: $x+3 < 0$.
5. Решая $x+3 < 0$, получаем $x < -3$.
6. Интервал $(-\infty, -3)$ удовлетворяет условиям $x \neq 1$ и $x \neq -2$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.

в) Решим неравенство $\frac{(x+1)^3(x-2)}{(x-3)^2} < 0$.
1. ОДЗ: $(x-3)^2 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.
2. Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$.
3. Неравенство равносильно неравенству для числителя: $(x+1)^3(x-2) < 0$.
4. Знак выражения $(x+1)^3$ совпадает со знаком $(x+1)$. Таким образом, неравенство можно упростить до $(x+1)(x-2) < 0$.
5. Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни: $x = -1$ и $x = 2$. График функции $y=(x+1)(x-2)$ — парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.
6. Решение: $-1 < x < 2$.
7. Данный интервал не содержит точку $x=3$ из ОДЗ.
Ответ: $x \in (-1, 2)$.

г) Решим неравенство $\frac{(x+1)(x+2)^3}{x+3} < 0$.
1. ОДЗ: $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.
2. Знак выражения $(x+2)^3$ совпадает со знаком $(x+2)$. Неравенство равносильно $\frac{(x+1)(x+2)}{x+3} < 0$.
3. Решим полученное неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $x=-3, x=-2, x=-1$.
4. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, \infty)$.
5. Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку $x=0$ из интервала $(-1, \infty)$: $\frac{(0+1)(0+2)}{0+3} = \frac{2}{3} > 0$.
6. Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки в интервалах будут чередоваться: $(-\infty, -3): -$; $(-3, -2): +$; $(-2, -1): -$; $(-1, \infty): +$.
7. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, -1)$.

д) Решим неравенство $\frac{(x-1)^2(x-3)}{x+3} > 0$.
1. ОДЗ: $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.
2. Множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, $x \neq 1$. При $x \neq 1$ этот множитель положителен и не влияет на знак дроби.
3. Таким образом, неравенство равносильно системе: $\begin{cases} \frac{x-3}{x+3} > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$.
4. Решим неравенство $\frac{x-3}{x+3} > 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=-3$.
5. Интервалы и знаки: $(-\infty, -3): +$; $(-3, 3): -$; $(3, \infty): +$.
6. Решением является объединение интервалов $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
7. Точка $x=1$ не входит в полученное множество, поэтому дополнительно исключать ее не нужно.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

е) Решим неравенство $\frac{(x-2)^2(x+4)}{x-4} < 0$.
1. ОДЗ: $x-4 \neq 0$, откуда $x \neq 4$.
2. Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, $x \neq 2$. При $x \neq 2$ этот множитель положителен и не влияет на знак дроби.
3. Неравенство равносильно системе: $\begin{cases} \frac{x+4}{x-4} < 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$.
4. Решим неравенство $\frac{x+4}{x-4} < 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-4$ и $x=4$.
5. Интервалы и знаки: $(-\infty, -4): +$; $(-4, 4): -$; $(4, \infty): +$.
6. Решением является интервал $(-4, 4)$.
7. Из этого интервала необходимо исключить точку $x=2$.
8. Получаем объединение двух интервалов: $(-4, 2)$ и $(2, 4)$.
Ответ: $x \in (-4, 2) \cup (2, 4)$.