Номер 157, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

157. a) Что значит решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным?

б) Как решают системы рациональных неравенств с одним неизвестным?

a) Решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным — это значит найти множество всех значений неизвестной переменной, при каждом из которых все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.
Иными словами, это означает найти пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему. Если система состоит, например, из двух неравенств $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения, то решением системы будет множество всех таких значений $x$, которые одновременно удовлетворяют и первому, и второму неравенству.
Это множество (решение системы) может быть интервалом, объединением интервалов, отдельным числом или пустым множеством (если таких общих значений переменной не существует).
Ответ: Найти все значения переменной, которые являются решениями каждого из неравенств системы одновременно, то есть найти пересечение множеств решений всех неравенств системы.

б) Системы рациональных неравенств с одним неизвестным решают по следующему алгоритму:
1. Решение каждого неравенства по отдельности. Каждое рациональное неравенство в системе решается независимо от других. Наиболее распространенным методом решения рационального неравенства, например, вида $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$, является метод интервалов. Этот метод включает следующие шаги:
- Неравенство приводится к стандартному виду, где в правой части стоит ноль.
- Находятся корни числителя ($P(x) = 0$) и корни знаменателя ($Q(x) = 0$). Эти точки называются критическими.
- Критические точки наносятся на числовую ось. Корни знаменателя всегда отмечаются "выколотыми" (пустыми) точками, так как они не входят в область определения выражения. Корни числителя отмечаются закрашенными точками для нестрогих неравенств ($\ge, \le$) и выколотыми для строгих ($>, <$).
- Определяется знак выражения в каждом из полученных интервалов, например, путем подстановки пробной точки из каждого интервала.
- Выбираются интервалы, знаки в которых соответствуют знаку неравенства. Объединение этих интервалов является решением одного неравенства.

2. Нахождение пересечения множеств решений. После того как найдено множество решений для каждого неравенства системы, необходимо найти их пересечение. Пересечение множеств — это общая часть всех этих множеств.
Для наглядности удобно изобразить множества решений всех неравенств на одной числовой оси. Область, где штриховки всех решений пересекаются (накладываются друг на друга), и будет являться решением всей системы.
Например, если решением первого неравенства является множество $x \in (-1; 5)$, а решением второго — $x \in [2; +\infty)$, то решением системы будет пересечение этих множеств, то есть $x \in [2; 5)$.
Ответ: Сначала решают каждое неравенство системы по отдельности, а затем находят пересечение полученных множеств решений.