Номер 161, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

161. а) $\begin{cases} (x-1)(x-2) > 0, \\ (x-1)(x-3) > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+3)(x+2) < 0, \\ (x-4)(x+2) > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x+1)(x-1) > 0, \\ (x+1)(x-3) < 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x+4)(x-6) > 0, \\ x^2 - 1 < 0. \end{cases}$

а)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} (x-1)(x-2) > 0 \\ (x-1)(x-3) > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $(x-1)(x-2) > 0$.
Это квадратичное неравенство. График функции $y = (x-1)(x-2)$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Корни уравнения $(x-1)(x-2)=0$ равны $x_1=1$ и $x_2=2$. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; \infty)$.

2. Решим второе неравенство $(x-1)(x-3) > 0$.
Аналогично, это парабола с ветвями вверх. Корни уравнения $(x-1)(x-3)=0$ равны $x_1=1$ и $x_2=3$. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти общую часть для множеств $x \in (-\infty; 1) \cup (2; \infty)$ и $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.
Общим для обоих решений является интервал $(-\infty; 1)$, а также пересечение интервалов $(2; \infty)$ и $(3; \infty)$, которым является интервал $(3; \infty)$.
Таким образом, решение системы: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

б)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} (x+3)(x+2) < 0 \\ (x-4)(x+2) > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $(x+3)(x+2) < 0$.
График функции $y = (x+3)(x+2)$ — парабола с ветвями вверх. Корни уравнения $(x+3)(x+2)=0$ равны $x_1=-3$ и $x_2=-2$. Значения функции отрицательны между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-3; -2)$.

2. Решим второе неравенство $(x-4)(x+2) > 0$.
График функции $y = (x-4)(x+2)$ — парабола с ветвями вверх. Корни уравнения $(x-4)(x+2)=0$ равны $x_1=-2$ и $x_2=4$. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти общую часть для множеств $x \in (-3; -2)$ и $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$.
Пересекая интервал $(-3; -2)$ с объединением $(-\infty; -2) \cup (4; \infty)$, мы получаем интервал от -3 до -2, не включая концы.
Таким образом, решение системы: $x \in (-3; -2)$.

Ответ: $x \in (-3; -2)$.

в)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} (x+1)(x-1) > 0 \\ (x+1)(x-3) < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $(x+1)(x-1) > 0$.
Это парабола с ветвями вверх и корнями $x_1=-1$ и $x_2=1$. Неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

2. Решим второе неравенство $(x+1)(x-3) < 0$.
Это парабола с ветвями вверх и корнями $x_1=-1$ и $x_2=3$. Неравенство выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-1; 3)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти общую часть для множеств $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$ и $x \in (-1; 3)$.
Пересечение этих множеств — это та часть интервала $(-1; 3)$, которая также принадлежит множеству $(-\infty; -1) \cup (1; \infty)$. Это интервал $(1; 3)$.
Таким образом, решение системы: $x \in (1; 3)$.

Ответ: $x \in (1; 3)$.

г)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} (x+4)(x-6) > 0 \\ x^2 - 1 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $(x+4)(x-6) > 0$.
Это парабола с ветвями вверх и корнями $x_1=-4$ и $x_2=6$. Неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (6; \infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 1 < 0$.
Разложим на множители: $(x-1)(x+1) < 0$. Это парабола с ветвями вверх и корнями $x_1=-1$ и $x_2=1$. Неравенство выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-1; 1)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти общую часть для множеств $x \in (-\infty; -4) \cup (6; \infty)$ и $x \in (-1; 1)$.
На числовой оси видно, что интервал $(-1; 1)$ не имеет общих точек с объединением интервалов $(-\infty; -4) \cup (6; \infty)$.
Следовательно, у системы нет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).