Номер 154, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

154. a) $\frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-3)^2} > 0;$

б) $\frac{(x+1)^2(x-2)^2}{x+3} < 0;$

в) $\frac{(x-1)^3(x-2)}{(x-3)^2} > 0;$

г) $\frac{(x+1)(x-2)^3}{x+3} < 0.$

а)

Для решения неравенства $ \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-3)^2} > 0 $ используем метод интервалов.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен равняться нулю, поэтому $(x-3)^2 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.

2. Найдём нули функции $f(x) = \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-3)^2}$.
Нули числителя: $(x-1)^2(x-2) = 0$. Корни: $x=1$ (кратность 2, чётная) и $x=2$ (кратность 1, нечётная).
Нули знаменателя: $(x-3)^2 = 0$. Корень: $x=3$ (кратность 2, чётная).

3. Отметим точки $1, 2, 3$ на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

4. Проанализируем знаки. Множители $(x-1)^2$ и $(x-3)^2$ всегда неотрицательны (равны нулю в точках $x=1$ и $x=3$ соответственно). Следовательно, знак всего выражения для $x \neq 1$ и $x \neq 3$ совпадает со знаком множителя $(x-2)$.

Таким образом, неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} x-2 > 0 \\ x \neq 1 \\ x \neq 3 \end{cases} $

Решая $x-2 > 0$, получаем $x > 2$. С учётом ограничений $x \neq 3$, окончательное решение: $x \in (2, 3) \cup (3, \infty)$.

Ответ: $x \in (2, 3) \cup (3, \infty)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{(x+1)^2(x-2)^2}{x+3} < 0 $.

1. ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

2. Найдём нули функции.
Нули числителя: $(x+1)^2(x-2)^2 = 0$. Корни: $x=-1$ (кратность 2, чётная) и $x=2$ (кратность 2, чётная).
Нули знаменателя: $x+3 = 0$. Корень: $x=-3$ (кратность 1, нечётная).

3. Отметим точки $-3, -1, 2$ на числовой оси. Все точки выколотые.

4. Множители в числителе $(x+1)^2$ и $(x-2)^2$ всегда неотрицательны. Числитель положителен при всех $x$, кроме $x=-1$ и $x=2$, где он равен нулю. Поскольку неравенство строгое ($<0$), эти точки не являются решением.

Таким образом, знак дроби зависит только от знака знаменателя $x+3$. Неравенство сводится к $x+3 < 0$.

Решая $x+3 < 0$, получаем $x < -3$. Это решение не включает точки $x=-1$ и $x=2$, поэтому дополнительных ограничений не требуется.

Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.

в)

Решим неравенство $ \frac{(x-1)^3(x-2)}{(x-3)^2} > 0 $ методом интервалов.

1. ОДЗ: $(x-3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

2. Найдём нули функции.
Нули числителя: $(x-1)^3(x-2) = 0$. Корни: $x=1$ (кратность 3, нечётная) и $x=2$ (кратность 1, нечётная).
Нули знаменателя: $(x-3)^2 = 0$. Корень: $x=3$ (кратность 2, чётная).

3. Отметим точки $1, 2, 3$ на числовой оси. Все точки выколотые.

4. Определим знаки на интервалах. При переходе через корень нечётной кратности знак меняется, а при переходе через корень чётной кратности — сохраняется.
- На интервале $(3, \infty)$ возьмём точку $x=4$: $ \frac{(+)^3(+)}{(+)^2} > 0 $. Знак "+".
- Переходим через $x=3$ (чётная кратность): знак сохраняется. На интервале $(2, 3)$ знак "+".
- Переходим через $x=2$ (нечётная кратность): знак меняется. На интервале $(1, 2)$ знак "-".
- Переходим через $x=1$ (нечётная кратность): знак меняется. На интервале $(-\infty, 1)$ знак "+".

Нас интересуют интервалы со знаком "+". Это $(-\infty, 1)$, $(2, 3)$ и $(3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$.

г)

Решим неравенство $ \frac{(x+1)(x-2)^3}{x+3} < 0 $ методом интервалов.

1. ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

2. Найдём нули функции.
Нули числителя: $(x+1)(x-2)^3 = 0$. Корни: $x=-1$ (кратность 1, нечётная) и $x=2$ (кратность 3, нечётная).
Нули знаменателя: $x+3 = 0$. Корень: $x=-3$ (кратность 1, нечётная).

3. Отметим точки $-3, -1, 2$ на числовой оси. Все точки выколотые. Все корни имеют нечётную кратность, поэтому знак будет чередоваться при переходе через каждую точку.

4. Определим знаки на интервалах.
- На интервале $(2, \infty)$ возьмём точку $x=3$: $ \frac{(3+1)(3-2)^3}{3+3} = \frac{4 \cdot 1}{6} > 0 $. Знак "+".
- Так как все корни нечётной кратности, знаки чередуются:
Интервал $(-1, 2)$ — знак "-".
Интервал $(-3, -1)$ — знак "+".
Интервал $(-\infty, -3)$ — знак "-".

Нас интересуют интервалы со знаком "-". Это $(-\infty, -3)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 2)$.