Номер 147, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

147. a) $ \frac{4x^2 - x}{x + 1} > 0; $

б) $ \frac{3x - x^2}{x - 2} < 0; $

в) $ \frac{13x - 2x^2}{4x - x^2} < 0; $

г) $ \frac{15x - 5x^2}{12x - 3x^2} > 0. $

а)

Решим неравенство $\frac{4x^2-x}{x+1} > 0$.

Данное неравенство равносильно системе, в которой числитель и знаменатель либо оба положительны, либо оба отрицательны. Однако, удобнее решить его методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $4x^2-x = 0$ $x(4x-1) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{4}$

2. Найдем нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено): $x+1 = 0$ $x_3 = -1$

3. Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

4. Определим знаки выражения $f(x) = \frac{x(4x-1)}{x+1}$ на каждом из полученных интервалов:

• При $x > \frac{1}{4}$ (например, $x=1$): $f(1) = \frac{1(4-1)}{1+1} = \frac{3}{2} > 0$. Знак «+».
• При $0 < x < \frac{1}{4}$ (например, $x=0.1$): $f(0.1) = \frac{0.1(0.4-1)}{0.1+1} = \frac{-0.06}{1.1} < 0$. Знак «-».
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $f(-0.5) = \frac{-0.5(4(-0.5)-1)}{-0.5+1} = \frac{-0.5(-3)}{0.5} > 0$. Знак «+».
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $f(-2) = \frac{-2(4(-2)-1)}{-2+1} = \frac{-2(-9)}{-1} < 0$. Знак «-».

5. Поскольку неравенство имеет вид $> 0$, выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{3x-x^2}{x-2} < 0$.

1. Найдем нули числителя: $3x-x^2 = 0$ $x(3-x) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 3$

2. Найдем нули знаменателя: $x-2 = 0$ $x_3 = 2$

3. Отметим точки $0, 2, 3$ на числовой оси. Все точки выколотые.

4. Определим знаки выражения $f(x) = \frac{x(3-x)}{x-2}$ на каждом интервале:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $f(4) = \frac{4(3-4)}{4-2} = \frac{-4}{2} < 0$. Знак «-».
• При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $f(2.5) = \frac{2.5(3-2.5)}{2.5-2} = \frac{1.25}{0.5} > 0$. Знак «+».
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $f(1) = \frac{1(3-1)}{1-2} = \frac{2}{-1} < 0$. Знак «-».
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $f(-1) = \frac{-1(3-(-1))}{-1-2} = \frac{-4}{-3} > 0$. Знак «+».

5. Поскольку неравенство имеет вид $< 0$, выбираем интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (3; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $\frac{13x-2x^2}{4x-x^2} < 0$.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители: $\frac{x(13-2x)}{x(4-x)} < 0$

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю: $x(4-x) \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

3. При $x \neq 0$ можно сократить дробь: $\frac{13-2x}{4-x} < 0$

4. Решим полученное неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $13-2x = 0 \implies x = 6.5$. Нуль знаменателя: $4-x = 0 \implies x = 4$.

5. Отметим на числовой оси точки $4$ и $6.5$, а также точку $0$ из ОДЗ. Все точки выколотые.

6. Определим знаки выражения $g(x) = \frac{13-2x}{4-x}$ на интервалах. (Заметим, что в исходном выражении множитель $x$ встречается и в числителе, и в знаменателе, поэтому при переходе через точку $x=0$ знак выражения не меняется).

• При $x > 6.5$ (например, $x=7$): $g(7) = \frac{13-14}{4-7} = \frac{-1}{-3} > 0$. Знак «+».
• При $4 < x < 6.5$ (например, $x=5$): $g(5) = \frac{13-10}{4-5} = \frac{3}{-1} < 0$. Знак «-».
• При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $g(1) = \frac{13-2}{4-1} = \frac{11}{3} > 0$. Знак «+».
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $g(-1) = \frac{13+2}{4+1} = \frac{15}{5} > 0$. Знак «+».

7. Выбираем интервал со знаком «-».

Ответ: $x \in (4; 6.5)$.

г)

Решим неравенство $\frac{15x-5x^2}{12x-3x^2} > 0$.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители: $\frac{5x(3-x)}{3x(4-x)} > 0$

2. ОДЗ: $3x(4-x) \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

3. При $x \neq 0$ сократим дробь: $\frac{5(3-x)}{3(4-x)} > 0$ Так как $\frac{5}{3} > 0$, это неравенство равносильно $\frac{3-x}{4-x} > 0$

4. Решим это неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $3-x=0 \implies x = 3$. Нуль знаменателя: $4-x=0 \implies x = 4$.

5. Отметим на оси точки $3$, $4$ и точку $0$ из ОДЗ. Все точки выколотые.

6. Определим знаки выражения $g(x) = \frac{3-x}{4-x}$ на интервалах. (Как и в предыдущем примере, знак выражения не меняется при переходе через $x=0$).

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $g(5) = \frac{3-5}{4-5} = \frac{-2}{-1} > 0$. Знак «+».
• При $3 < x < 4$ (например, $x=3.5$): $g(3.5) = \frac{3-3.5}{4-3.5} = \frac{-0.5}{0.5} < 0$. Знак «-».
• При $0 < x < 3$ (например, $x=1$): $g(1) = \frac{3-1}{4-1} = \frac{2}{3} > 0$. Знак «+».
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $g(-1) = \frac{3-(-1)}{4-(-1)} = \frac{4}{5} > 0$. Знак «+».

7. Выбираем интервалы со знаком «+», исключая точку $0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (4; +\infty)$.