Номер 146, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

146. a) $\frac{(x-1)(x+2)}{x-3} > 0;$

б) $\frac{(x+1)(x-2)}{x+3} < 0;$

в) $\frac{(x+1)(7-x)}{(8+x)(x-5)} < 0;$

г) $\frac{(x-6)(4-x)}{(x-1)(1+x)} > 0.$

а) $\frac{(x-1)(x+2)}{x-3} > 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства используется метод интервалов. Сначала находим точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы, в каждом из которых знак выражения постоянен.

1. Находим нули числителя: $(x-1)(x+2) = 0$. Отсюда получаем $x=1$ и $x=-2$.

2. Находим нули знаменателя: $x-3=0$. Отсюда $x=3$. Значение $x=3$ не входит в область допустимых значений (ОДЗ), так как на ноль делить нельзя.

3. Отмечаем найденные точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($>$), все точки будут "выколотыми" (не включаются в решение). Точки в порядке возрастания: -2, 1, 3.

4. Определяем знак выражения в каждом из полученных интервалов: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 3)$, $(3, \infty)$. Для этого подставляем в выражение любое число из каждого интервала.

• Интервал $(3, \infty)$: возьмем $x=4$. $\frac{(4-1)(4+2)}{4-3} = \frac{3 \cdot 6}{1} = 18$. Знак "+".
• Интервал $(1, 3)$: возьмем $x=2$. $\frac{(2-1)(2+2)}{2-3} = \frac{1 \cdot 4}{-1} = -4$. Знак "-".
• Интервал $(-2, 1)$: возьмем $x=0$. $\frac{(0-1)(0+2)}{0-3} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty, -2)$: возьмем $x=-3$. $\frac{(-3-1)(-3+2)}{-3-3} = \frac{(-4)(-1)}{-6} = -\frac{2}{3}$. Знак "-".

5. Выбираем интервалы, которые удовлетворяют знаку неравенства ($>0$, т.е. знак "+"). Это интервалы $(-2, 1)$ и $(3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-2, 1) \cup (3, \infty)$.

б) $\frac{(x+1)(x-2)}{x+3} < 0$

Решаем аналогично методом интервалов.

1. Нули числителя: $(x+1)(x-2) = 0$, откуда $x=-1$ и $x=2$.

2. Нуль знаменателя: $x+3=0$, откуда $x=-3$.

3. Отмечаем точки $-3, -1, 2$ на числовой оси. Неравенство строгое (<), поэтому все точки "выколотые".

4. Определяем знаки на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, -1)$, $(-1, 2)$, $(2, \infty)$. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=3$: $\frac{(3+1)(3-2)}{3+3} = \frac{4}{6} > 0$. Знак "+". Так как все множители имеют нечетную (первую) степень, знаки на интервалах чередуются. Двигаясь справа налево, получаем знаки: "+", "-", "+", "-".

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля ($<0$, т.е. знак "-"). Это интервалы $(-\infty, -3)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 2)$.

в) $\frac{(x+1)(7-x)}{(8+x)(x-5)} < 0$

1. Для удобства приведем неравенство к стандартному виду, где переменная $x$ во всех скобках стоит на первом месте с положительным коэффициентом. Для этого в множителе $(7-x)$ вынесем минус за скобки: $7-x = -(x-7)$.

$\frac{(x+1)(-(x-7))}{(x+8)(x-5)} < 0$

2. Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{(x+1)(x-7)}{(x+8)(x-5)} > 0$

3. Находим нули числителя и знаменателя:

Нули числителя: $x=-1$ и $x=7$.

Нули знаменателя: $x=-8$ и $x=5$.

4. Отмечаем все точки ($-8, -1, 5, 7$) на числовой оси. Все точки "выколотые".

5. Определяем знаки на интервалах. Возьмем $x=10$: $\frac{(10+1)(10-7)}{(10+8)(10-5)} > 0$. Знак "+". Знаки чередуются: "+", "-", "+", "-", "+".

6. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля ($>0$, знак "+"). Это $(-\infty, -8)$, $(-1, 5)$ и $(7, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (-1, 5) \cup (7, \infty)$.

г) $\frac{(x-6)(4-x)}{(x-1)(1+x)} > 0$

1. Преобразуем неравенство, вынеся минус из скобки $(4-x)$: $4-x = -(x-4)$.

$\frac{(x-6)(-(x-4))}{(x-1)(x+1)} > 0$

2. Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

$\frac{(x-6)(x-4)}{(x-1)(x+1)} < 0$

3. Находим нули числителя и знаменателя:

Нули числителя: $x=6$ и $x=4$.

Нули знаменателя: $x=1$ и $x=-1$.

4. Отмечаем точки ($-1, 1, 4, 6$) на числовой оси. Все точки "выколотые".

5. Определяем знаки. Возьмем $x=10$: $\frac{(10-6)(10-4)}{(10-1)(10+1)} > 0$. Знак "+". Знаки чередуются: "+", "-", "+", "-", "+".

6. Нам нужны интервалы со знаком "-" ($<0$). Это $(-1, 1)$ и $(4, 6)$.

Ответ: $x \in (-1, 1) \cup (4, 6)$.