Страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

164. a) $ \begin{cases} x^2 > 4, \\ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 8x + 16} > 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 < 25, \\ \frac{x^2 - 16}{x^2 + 6x + 9} < 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4} > 0, \\ \frac{x - 5}{x^2 - 4} < 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \frac{x^2 - 16}{x^2 + 1} < 0, \\ \frac{x - 2}{x^2 - 9} > 0. \end{cases} $

а) Решим первое неравенство системы $x^2 > 4$. Оно равносильно неравенству $x^2 - 4 > 0$, или $(x-2)(x+2) > 0$. Решением является объединение интервалов $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$. Решим второе неравенство $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 8x + 16} > 0$. Знаменатель $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$ положителен при всех $x \neq 4$. Таким образом, неравенство сводится к $x^2 - 9 > 0$ при условии $x \neq 4$. Решение неравенства $(x-3)(x+3) > 0$ есть $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$. С учетом условия $x \neq 4$ получаем $x \in (-\infty, -3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$. Для решения системы найдем пересечение полученных множеств: $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ и $(-\infty, -3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$. Пересечение этих множеств есть $x \in (-\infty, -3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$. Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$.

б) Решим первое неравенство системы $x^2 < 25$. Оно равносильно неравенству $x^2 - 25 < 0$, или $(x-5)(x+5) < 0$. Решением является интервал $x \in (-5, 5)$. Решим второе неравенство $\frac{x^2 - 16}{x^2 + 6x + 9} < 0$. Знаменатель $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ положителен при всех $x \neq -3$. Таким образом, неравенство сводится к $x^2 - 16 < 0$ при условии $x \neq -3$. Решение неравенства $(x-4)(x+4) < 0$ есть $x \in (-4, 4)$. С учетом условия $x \neq -3$ получаем $x \in (-4, -3) \cup (-3, 4)$. Для решения системы найдем пересечение полученных множеств: $(-5, 5)$ и $(-4, -3) \cup (-3, 4)$. Пересечением является множество $x \in (-4, -3) \cup (-3, 4)$. Ответ: $x \in (-4, -3) \cup (-3, 4)$.

в) Решим первое неравенство системы $\frac{x^2 - 1}{x^2 + 4} > 0$. Знаменатель $x^2 + 4$ всегда положителен, поэтому неравенство равносильно $x^2 - 1 > 0$, или $(x-1)(x+1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Решим второе неравенство $\frac{x - 5}{x^2 - 4} < 0$. Разложим знаменатель на множители: $\frac{x-5}{(x-2)(x+2)} < 0$. Применяя метод интервалов с корнями -2, 2, 5, находим, что неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(2, 5)$. Таким образом, решение $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 5)$. Найдем пересечение решений: $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ и $(-\infty, -2) \cup (2, 5)$. Пересечением является множество $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 5)$. Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 5)$.

г) Решим первое неравенство системы $\frac{x^2 - 16}{x^2 + 1} < 0$. Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен, поэтому неравенство равносильно $x^2 - 16 < 0$, или $(x-4)(x+4) < 0$. Решением является интервал $x \in (-4, 4)$. Решим второе неравенство $\frac{x - 2}{x^2 - 9} > 0$. Разложим знаменатель на множители: $\frac{x-2}{(x-3)(x+3)} > 0$. Применяя метод интервалов с корнями -3, 2, 3, находим, что неравенство выполняется на интервалах $(-3, 2)$ и $(3, \infty)$. Таким образом, решение $x \in (-3, 2) \cup (3, \infty)$. Найдем пересечение решений: $(-4, 4)$ и $(-3, 2) \cup (3, \infty)$. Пересечением является множество $x \in (-3, 2) \cup (3, 4)$. Ответ: $x \in (-3, 2) \cup (3, 4)$.