Номер 46, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

46. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{1}{\sqrt{x}};$

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x-1}};$

в) $y = \frac{5x}{\sqrt{1-x}}.$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (определена). Для нахождения области определения необходимо выявить все ограничения, накладываемые на $x$.

а) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

В данной функции есть два ограничения:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $\sqrt{x} \ne 0$.
Из второго условия следует, что $x \ne 0$.
Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \ne 0$), получаем строгое неравенство: $x > 0$.
Таким образом, область определения функции — это все числа, строго большие нуля.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

Для этой функции также существуют два ограничения:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x} - 1 \ne 0$.
Решим второе условие:
$\sqrt{x} \ne 1$
Возведя обе части в квадрат, получаем:
$x \ne 1$.
Совмещая оба условия, получаем, что $x$ может быть любым неотрицательным числом, кроме 1.

Ответ: $x \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$.

в) $y = \frac{5x}{\sqrt{1 - x}}$

В этой функции корень находится в знаменателе. Это накладывает одно, но строгое ограничение: выражение под знаком корня должно быть строго больше нуля. Это гарантирует, что корень можно извлечь (подкоренное выражение неотрицательно) и знаменатель не равен нулю.
Составим и решим соответствующее неравенство:
$1 - x > 0$
Перенесем $x$ в правую часть:
$1 > x$
Или, что то же самое:
$x < 1$.
Область определения функции — это все числа, меньшие 1.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.