Номер 52, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

52. Запишите какую-либо систему неравенств, все решения которой образуют интервал, отмеченный на рисунке 9 двойной штриховкой.

a) $\begin{cases} x > -5 \\ x < 4 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x > 0 \\ x < 3 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x > -4 \\ x < 1 \end{cases}$

Рис. 9

а)

На рисунке а) область, являющаяся решением системы, представляет собой интервал от -5 до 4. Точки -5 и 4 отмечены как выколотые, что соответствует строгим неравенствам. Следовательно, искомое множество решений — это интервал $(-5, 4)$.

Чтобы решением системы был интервал, переменная $x$ должна удовлетворять двум условиям одновременно: быть больше левой границы и меньше правой.
Первое условие: $x$ должен быть больше -5, что записывается как неравенство $x > -5$.
Второе условие: $x$ должен быть меньше 4, что записывается как неравенство $x < 4$.

Объединив эти два неравенства в систему, мы получим систему, решением которой является указанный интервал.

Ответ: $\begin{cases} x > -5 \\ x < 4 \end{cases}$

б)

Решением системы является интервал, отмеченный на рисунке двойной (перекрестной) штриховкой. Это область, начинающаяся от точки 3 и идущая вправо (в сторону увеличения $x$). Точка 3 является выколотой, поэтому неравенство строгое. Таким образом, решение системы — это интервал $(3, +\infty)$, или $x > 3$.

На рисунке также присутствует область с одинарной штриховкой от 0 до 3. Это подсказка для составления системы. Общая заштрихованная область (и одинарная, и двойная) начинается от 0, что соответствует неравенству $x > 0$. Двойная штриховка появляется только правее 3, что соответствует второму неравенству $x > 3$.

Составим систему из этих двух неравенств. Решением системы будет пересечение множеств решений каждого из неравенств:
Решение для $x > 0$: интервал $(0, +\infty)$.
Решение для $x > 3$: интервал $(3, +\infty)$.
Пересечение $(0, +\infty) \cap (3, +\infty)$ дает искомый интервал $(3, +\infty)$.

Ответ: $\begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases}$

в)

Интервал, отмеченный двойной штриховкой, является решением системы. На рисунке в) это интервал между точками -4 и 1. Обе точки выколоты, что означает, что они не входят в решение, и неравенства должны быть строгими. Следовательно, искомое решение — это интервал $(-4, 1)$.

Как и в пункте а), данный интервал можно получить как пересечение решений двух неравенств.
Вся заштрихованная область на рисунке (и одинарная, и двойная) начинается от -4 и идет вправо, что можно описать неравенством $x > -4$.
Двойная штриховка обрывается на точке 1. Это означает, что второе неравенство ограничивает решения сверху: $x < 1$.

Система из этих двух неравенств будет иметь своим решением пересечение интервалов $(-4, +\infty)$ и $(-\infty, 1)$, что в точности соответствует интервалу $(-4, 1)$, отмеченному двойной штриховкой.

Ответ: $\begin{cases} x > -4 \\ x < 1 \end{cases}$