Номер 53, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

53. Для неравенства $2x < 1$ подберите другое неравенство так, чтобы система этих неравенств:

а) не имела решений;

б) имела множеством всех решений интервал $(-\infty; 0,5)$.

Сначала решим исходное неравенство $2x < 1$. Для этого разделим обе его части на 2, не меняя знака неравенства. В результате получим $x < \frac{1}{2}$ или, в виде десятичной дроби, $x < 0,5$. Множеством решений этого неравенства является числовой интервал $(-\infty; 0,5)$.

а) не имела решений;

Чтобы система, состоящая из неравенства $2x < 1$ и искомого второго неравенства, не имела решений, множества их решений не должны пересекаться. Поскольку решением первого неравенства является интервал $(-\infty; 0,5)$, второе неравенство должно быть верным для тех значений $x$, которые не входят в этот интервал. То есть, для $x \ge 0,5$.

В качестве такого неравенства можно выбрать любое, решением которого будет множество, не имеющее общих точек с $(-\infty; 0,5)$. Например, возьмем неравенство $x \ge 1$. Его решением является числовой промежуток $[1; +\infty)$.

Рассмотрим систему, состоящую из неравенств $2x < 1$ и $x \ge 1$. Она эквивалентна системе из условий $x < 0,5$ и $x \ge 1$. Множества решений $(-\infty; 0,5)$ и $[1; +\infty)$ не имеют общих точек, их пересечение пусто ($\emptyset$). Следовательно, такая система не имеет решений.

Ответ: например, $x \ge 1$.

б) имела множеством всех решений интервал (–∞; 0,5).

Чтобы решением системы было множество $(-\infty; 0,5)$, которое является решением исходного неравенства $2x < 1$, необходимо, чтобы множество решений второго неравенства при пересечении с интервалом $(-\infty; 0,5)$ давало этот же интервал.

Это возможно только в том случае, если множество решений второго неравенства полностью содержит в себе интервал $(-\infty; 0,5)$.

В качестве такого неравенства можно выбрать любое, решением которого будет множество, включающее $(-\infty; 0,5)$. Например, неравенство $x < 1$. Его решением является интервал $(-\infty; 1)$.

Рассмотрим систему из неравенств $2x < 1$ и $x < 1$. Она эквивалентна системе из условий $x < 0,5$ и $x < 1$. Числа, удовлетворяющие обоим этим условиям одновременно, — это числа, которые меньше 0,5. Таким образом, решением системы является интервал $(-\infty; 0,5)$, что и требовалось в условии.

Ответ: например, $x < 1$.