Номер 55, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

55. a) $$\begin{cases}2x + 7 > 3 - x, \\\frac{1}{3}x - 1 > 2x - \frac{1}{4};\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\frac{2}{3}x > 8, \\\frac{3}{4}x - 1 > \frac{3}{5}x - 1;\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}\frac{x - 1}{2} < 1, \\4 - x > \frac{x - 5}{3};\end{cases}$$

г) $$\begin{cases}\frac{2x + 1}{3} > \frac{3 - x}{2}, \\\frac{x}{7} - 1 < \frac{2 - 8x}{4}.\end{cases}$$

a) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x+7 > 3-x, \\ \frac{1}{3}x-1 > 2x-\frac{1}{4}; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$2x+7 > 3-x$

$2x+x > 3-7$

$3x > -4$

$x > -\frac{4}{3}$

2. Решим второе неравенство. Умножим обе части на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4), чтобы избавиться от дробей:

$\frac{1}{3}x-1 > 2x-\frac{1}{4}$

$12 \cdot (\frac{1}{3}x-1) > 12 \cdot (2x-\frac{1}{4})$

$4x-12 > 24x-3$

$4x-24x > -3+12$

$-20x > 9$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -\frac{9}{20}$

3. Найдем пересечение решений $x > -\frac{4}{3}$ и $x < -\frac{9}{20}$.

Так как $-\frac{4}{3} \approx -1.33$ и $-\frac{9}{20} = -0.45$, то $-\frac{4}{3} < -\frac{9}{20}$.

Решением системы является интервал, где оба неравенства верны: $(-\frac{4}{3}; -\frac{9}{20})$.

Ответ: $(-\frac{4}{3}; -\frac{9}{20})$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{2}{3}x > 8, \\ \frac{3}{4}x-1 > \frac{3}{5}x-1; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{2}{3}x > 8$

$x > 8 \cdot \frac{3}{2}$

$x > 12$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{3}{4}x-1 > \frac{3}{5}x-1$

$\frac{3}{4}x > \frac{3}{5}x$

$\frac{3}{4}x - \frac{3}{5}x > 0$

$(\frac{15}{20} - \frac{12}{20})x > 0$

$\frac{3}{20}x > 0$

$x > 0$

3. Найдем пересечение решений $x > 12$ и $x > 0$.

Общим решением для обоих неравенств является $x > 12$.

Ответ: $(12; +\infty)$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x-1}{2} < 1, \\ 4-x > \frac{x-5}{3}; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x-1}{2} < 1$

$x-1 < 2$

$x < 3$

2. Решим второе неравенство:

$4-x > \frac{x-5}{3}$

$3(4-x) > x-5$

$12-3x > x-5$

$-3x-x > -5-12$

$-4x > -17$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{17}{4}$

$x < 4.25$

3. Найдем пересечение решений $x < 3$ и $x < 4.25$.

Общим решением является $x < 3$.

Ответ: $(-\infty; 3)$.

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{2x+1}{3} > \frac{3-x}{2}, \\ \frac{x}{7}-1 < \frac{2-8x}{4}; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{2x+1}{3} > \frac{3-x}{2}$

$2(2x+1) > 3(3-x)$

$4x+2 > 9-3x$

$4x+3x > 9-2$

$7x > 7$

$x > 1$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{x}{7}-1 < \frac{2-8x}{4}$

Умножим обе части на 28:

$28(\frac{x}{7}-1) < 28(\frac{2-8x}{4})$

$4x-28 < 7(2-8x)$

$4x-28 < 14-56x$

$4x+56x < 14+28$

$60x < 42$

$x < \frac{42}{60}$

$x < \frac{7}{10}$

3. Найдем пересечение решений $x > 1$ и $x < \frac{7}{10}$.

Не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше 1 и меньше $\frac{7}{10}$ (т.е. 0.7).

Пересечение множеств решений пустое.

Ответ: нет решений.