Номер 8, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

8. a) Что называют решением неравенства с одним неизвестным?

б) Что значит решить неравенство с одним неизвестным?

а) Решением неравенства с одним неизвестным называют такое значение переменной (неизвестного), при подстановке которого в неравенство получается верное числовое неравенство. То есть, это число, которое "удовлетворяет" данному неравенству, обращая его в истинное высказывание.

Например, рассмотрим неравенство $x + 5 > 8$.

Если мы подставим значение $x = 4$, то получим $4 + 5 > 8$, что можно упростить до $9 > 8$. Это верное числовое неравенство, следовательно, число 4 является решением данного неравенства.

Если же мы подставим значение $x = 2$, то получим $2 + 5 > 8$, что упрощается до $7 > 8$. Это неверное числовое неравенство, значит, число 2 не является решением.

Ответ: Решением неравенства с одним неизвестным является значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

б) Решить неравенство с одним неизвестным — это значит найти все его решения или доказать, что решений не существует. Совокупность всех решений неравенства образует множество решений.

Процесс решения неравенства заключается в нахождении всех значений переменной, которые удовлетворяют этому неравенству. Обычно множество решений представляет собой один или несколько числовых промежутков (интервалов, лучей, отрезков).

Например, решить неравенство $3x - 4 \le 5$ означает найти все такие $x$, при которых это неравенство верно. Для этого выполняют равносильные преобразования:

1. Прибавим 4 к обеим частям неравенства: $3x - 4 + 4 \le 5 + 4$, что дает $3x \le 9$.

2. Разделим обе части на положительное число 3: $x \le 3$.

Результат $x \le 3$ означает, что решением является любое число, которое меньше или равно 3. Это множество решений записывается в виде числового промежутка $(-\infty; 3]$.

Если в процессе решения мы приходим к выводу, что ни одно число не удовлетворяет неравенству (например, для неравенства $x^2 < -1$), то мы доказываем, что решений нет. В таком случае множество решений является пустым: $\emptyset$.

Ответ: Решить неравенство означает найти множество всех его решений или доказать, что их нет.