номер 2, страница 18 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Графиком квадратичной функции $g(x) = x^2 + 4x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 1 > 0$.

Найдём координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$;
$y_0 = g(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$.
Вершина находится в точке с координатами $(-2; -2)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.

Составим таблицу значений функции для построения графика:

Отметив эти точки в прямоугольной системе координат и соединив их плавной линией, получаем график функции $g(x) = x^2 + 4x + 2$.

а)Нули функции и промежутки знакопостоянства:

• Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых $g(x) = 0$ (точки пересечения графика с осью $Ox$).
  По графику видно, что корни приближённо равны: $x_1 \approx -3{,}4$ и $x_2 \approx -0{,}6$ (точные значения: $x = -2 \pm \sqrt{2}$).
• $g(x) < 0$ (часть графика расположена ниже оси $Ox$): при $x \in (-2 - \sqrt{2}; -2 + \sqrt{2})$ или приближённо при $x \in (-3{,}4; -0{,}6)$.
• $g(x) > 0$ (часть графика расположена выше оси $Ox$): при $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}; +\infty)$ или приближённо при $x \in (-\infty; -3{,}4) \cup (-0{,}6; +\infty)$.

б)Промежутки монотонности и наименьшее значение:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.
• Функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.
• Наименьшее значение функции достигается в её вершине и равно $y_{\text{наим}} = -2$ при $x = -2$.

Ответ:

а) Нули функции: $x = -2 \pm \sqrt{2}$ (или $x \approx -3{,}4$; $x \approx -0{,}6$);
$g(x) < 0$ при $x \in (-2 - \sqrt{2}; -2 + \sqrt{2})$;
$g(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}; +\infty)$.
б) Функция убывает на $(-\infty; -2]$; возрастает на $[-2; +\infty)$; наименьшее значение $g(x)_{\text{наим}} = -2$.